¿Tendría una onda triangular componentes sinusoidales finitos o infinitos?

22

Una discontinuidad hace que una señal tenga componentes sinusoidales infinitos, pero una onda triangular es continua, estaba tomando una clase en la que un instructor dijo que, dado que la onda triangular es continua, puede representarse por un número finito de componentes sinusoidales y también mostró un adición finita de múltiples frecuencias de sinusoides que dieron la forma de una onda triangular pura.

El único problema que tengo en mente es que la derivada de una onda triangular no es continua ya que es una onda cuadrada y, por lo tanto, necesitaría una suma infinita de sinusoides, por lo que si uno deriva los dos lados de la fórmula de la serie de Fourier de una onda triangular , obtendríamos una onda cuadrada que se muestra como una suma de un número finito de sinusoides. ¿No sería eso incorrecto?

fourier Syed Mohammad Asjad
fuente
10
La onda triangular tiene una serie infinada de Fourier. Recuerde que los tutores son falibles.
Autista
¿Qué dijo tu instructor cuando le preguntaste?
Solar Mike
55
@Syed Mohammad Asjad: su razonamiento con la derivada es correcto. Quizás tenga una mejor comprensión del asunto que su instructor.
Cuajada
66
De hecho, para tener una serie de Fourier finita, la función y TODAS sus derivadas deben ser continuas. Todas las derivadas de una sinusoide son continuas, y esto también es cierto para cualquier suma finita de sinusoides.
Dave Tweed
1
No es una respuesta, pero: las series de Fourier con coeficientes finitos son muy restrictivas. La mayoría de las funciones periódicas tienen series de Fourier infinitas. Sin embargo, cuanto más suave es la función, más rápida es la disminución de los coeficientes en el infinito. Si una función es k veces diferenciable con derivada acotada, entonces sus coeficientes de Fourier (c_n) decaen tan rápido como 1 / n ^ (k + 1), como puede verse por inducción. Para funciones analíticas (funciones con series de Taylor convergentes, es decir, incluso más suaves que infinitamente diferenciables), la disminución es exponencial. El triángulo tiene series de Fourier que son exactamente 1 / n ^ 2.
Alexandre C.

Respuestas:

21

una onda triangular es continua

Cita desde aquí : -

La onda triangular no tiene saltos discontinuos, pero la pendiente cambia de forma discontinua dos veces por ciclo.

Tener el cambio de pendiente de manera discontinua también significa un rango infinito de componentes sinusoidales.

Por ejemplo, si integró una onda cuadrada en el tiempo, produce una onda triangular, pero todas las hamonics de la onda cuadrada original todavía están presentes después de la integración de tiempo:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Andy alias
fuente
Había estado pensando lo mismo, la representación graohical ayudó mucho, gracias :)
Syed Mohammad Asjad
21
El instructor dijo que dado que la onda triangular es continua, puede representarse por un número finito de seno

O bien no entendiste bien o el instructor habló mal. No es suficiente que la señal en sí sea continua, pero todas las derivadas también deben ser continuas. Si hay alguna discontinuidad en alguna derivada, entonces la señal de repetición tendrá una serie infinita de armónicos.

Un triángulo es continuo, pero su primera derivada es una onda cuadrada, que no es continua. Por lo tanto, una onda triangular tiene una serie infinita de armónicos.

Olin Lathrop
fuente
1
No, no escuchó mal, tampoco habló mal porque lo dijo dos veces y también preguntó a la clase más tarde qué había dicho y exactamente lo que había pensado :)
Syed Mohammad Asjad
@SyedMohammadAsjad, ambos tienen razón. De Google; error de expresión: "expresarse de manera insuficientemente clara o precisa". Creo que uno de ustedes está usando "insuficientemente claro" y el otro está usando "insuficientemente preciso".
uhoh
Aunque la redacción de estas respuestas lo sugiere de alguna manera, el hecho de que todas las derivadas existan (y por lo tanto son continuas, por la existencia de la próxima derivada), aún está lejos de ser suficiente para tener una serie de Fourier finita. La mayoría de las series de Fourier para señales periódicas, por suaves que sean (clase $ \ mathcal C ^ \ infty $, o incluso analíticas) tienen infinitos componentes distintos de cero; es difícil llegar a una descripción de aquellos que no sean más que "sumas finitas de senos y cosenos". Todo lo que implica suavidad es una con la cual los coeficientes tienden a 0.
Marc van Leeuwen
un filtro de ladrillo puede hacer que el número de armónicos sea finito y aún se ve / \ / \ / \ / \ / \ / trinagular con al menos 20, lejos de ser infinito
Tony Stewart Sunnyskyguy EE75
11

Prueba matemática:

Tome una función compuesta de la suma ponderada de una serie finita de componentes seno / coseno.

Su derivada también es una suma ponderada de una serie finita de componentes seno / coseno. Lo mismo si deriva cualquier cantidad de veces.

Como el seno y el coseno son continuos, la función y todas sus derivadas son continuas.

Por lo tanto, una función que tiene una discontinuidad en cualquiera de sus derivados no se puede construir con una serie finita de componentes seno / coseno.

Peufeu
fuente
Exactamente lo que había pensado, gracias :)
Syed Mohammad Asjad
Debe ser "seno y coseno son suaves" no sólo continua - pero la esencia es la correcta, una suma finita de senos y cosenos es suave por lo que no puede tener discontinuidades en cualquiera de sus derivados
Nimish
1
@nimish Él demuestra que todas las derivadas son sumas finitas de (co) senos, por lo tanto, solo necesita continuidad de (co) senos, no suavidad :-)
yo
Sí, me perdí eso. Aunque de la analiticidad de $ \ exp (z) $ para $ z \ in \ mathbb {C} $, de todos modos se sigue trivialmente.
nimish
¡Felicitaciones por la respuesta matemática que explica las matemáticas en lugar de simplemente pegarlas!
uhoh
7

Aquí abundan las buenas respuestas, pero realmente depende de su interpretación de "puede ser representado por" .

Hay que entender que una onda triangular es una construcción matemática teórica que en realidad no puede existir.

Hablando matemáticamente, para obtener una onda triangular pura necesitaría un número infinito de ondas sinusoidales armónicas, pero para obtener una representación de una onda triangular, la mayoría de esos componentes son demasiado pequeños para importar, perderse en el ruido de fondo del sistema, o son de tan alta frecuencia que ya no son transmisibles.

Como tal, en la práctica, solo necesita un número finito para obtener una representación utilizable. Lo bueno que desea que esa representación dicte cuántos armónicos necesita usar.

Trevor_G
fuente
1
Esa es una de las cosas a tener en cuenta, seguramente le preguntaré a mi maestro si quiso decir eso porque tienes razón, en realidad no vamos a las frecuencias infinitas en absoluto, ni siquiera en la onda cuadrada (que no es t un cuadrado puro) :)
Syed Mohammad Asjad
Si bien tiene razón en que una onda triangular es una construcción matemática, su razonamiento es incorrecto. El hecho de que no pueda hacer finitos armónicos no proporciona una prueba de que no puede hacerlo en absoluto.
yo '
@yo 'de hecho esa es una de esas cosas con las que creo que muchos de nosotros tenemos dificultades. Si una onda triangular = número infinito de ondas sinusoidales en algún punto no puede agregar o pasar los armónicos. Si es solo una onda triangular ... generada por algún otro medio ... entonces qué ... cómo se transmite ... y cómo la cosa que lo transmite sabe la diferencia ... Me da dolor de cabeza pensar al respecto ... Básicamente, incluso si es solo un trozo corto de cable o rastro de PCB ... no puede sin distorsionarlo.
Trevor_G
1
La diferencia entre el ideal matemático y el mundo real, en pocas palabras.
PeterG
3

Otro enfoque.

Llamemos a x (t) la onda triangular e y (t) es derivada, que es una onda cuadrada, por lo tanto, discontinua.

Si x (t) fuera una suma finita de señales sinusoidales, su derivada, por la linealidad de esa operación, sería una suma finita de derivadas de señales sinusoidales, es decir, una suma finita de señales sinusoidales.

Pero esta última señal no puede ser la onda cuadrada y (t), porque una suma finita de señales sinusoidales es continua. Por lo tanto tenemos una contradicción.

Por lo tanto, x (t) debe tener componentes de Fourier infinitos.

Lorenzo Donati apoya a Monica
fuente
2

Propongo una prueba mucho más simple para ser utilizada en la práctica. Si la ola tiene esquinas afiladas, se requieren infinitos componentes sinusiodales para construir.

¿Por qué? Porque una serie finita de sinusiods no puede hacer una esquina afilada. Esto se demuestra a partir de la inducción en la regla de descomposición de sumas (es decir, Σ (a + b) = Σ a + Σ b para todas las sumas finitas y todas las sumas infinitas convergentes incondicionalmente).

Joshua
fuente
1

El conjunto de funciones que puede expresar una serie de Fourier finita son:

F: ={F(X)=una0 0+∑nortenorte∈norte(unanortecos⁡norteX+sinortepecado⁡norteX)}

Para todos los conjuntos finitos de los índices N . Término a término de diferenciación muestra que el derivado es (1) continua y (2) también en F . Desde la derivada de la onda triangular no es continua, la función de la onda triangular no está en F .

Esta prueba se basa fuera de la discontinuidad, pero la mayoría de las funciones continuas también no pertenecen a F . Dado que ninguna función polinómica o exponencial se puede expresar como una suma finita de senos y cosenos, los únicos miembros de F son aquellos escritos explícitamente en la forma anterior.

Jared Goguen
fuente