Pregunta: Un consumidor tiene riqueza ß0 & gt; 0 y quiere encontrar la mejor forma de consumir. esta riqueza Las preferencias sobre el consumo c (t) están dadas por $ \ int $ $ \ infty $ 0 mi -pt ((Connecticut) 1 - $ \ sigma $ -1) / (1 - $ \ sigma $)) dt donde 0 & lt; $ \ rho \ & lt; 1 $ es un descuento intertemporal y $ \ sigma $ & gt; 0, ß $ \ neq $ 1. Deje que ß (t) denote la cantidad de riqueza en el momento t. ß no se estropea con el tiempo, es decir, su valor sí No disminuir si no se consume. Por otro lado, no recibe intereses. UNA La unidad de consumo disminuye la riqueza por la misma unidad. Puedes ver ß0 como un pastel y el problema del consumidor como el problema de comer la torta a lo largo del tiempo en el forma optima Formule el problema y encuentre el camino óptimo de consumo a lo largo del tiempo.
(Mis consultas en negrita)
Solución:
El problema es max $ \ int $ $ \ infty $ 0 mi -pt ((Connecticut) 1 - $ \ sigma $ -1) / (1 - $ \ sigma $)) dt sujeto a $ \ int $ $ \ infty $ 0 c (t) .dt = ß0
O $. {B} $ = -c con ß0 dado. El hamiltoniano de este problema es:
H (c, ß, $ \ mu $) = ((c (t) 1 - $ \ sigma $ -1) / (1 - $ \ sigma $)) - $ \ mu $ c
1) ¿Qué entendemos por hamiltoniano? ¿Es una restricción de algún tipo?
donde $ \ mu $ es la variable de coste asociada a la restricción. {B} = -c. Las condiciones para el óptimo son $ \ parcial $ u / $ \ parcial $ c = 0 y. $ \ Mu $ = $ \ rho $$ \ mu $ - $ \ parcial $ H / $ \ parcial $ B junto con la restricción . La condición de transversalidad es:
lima t $ \ longrightarrow $$ \ infty $ + mi - $ \ rho $ t $ \ mu $ (t) ß (t) = 0.
2) Cuando usamos una condición de transversalidad, ¿define esto los límites del consumo en este caso?
Estas condiciones implican:
do - $ \ sigma $ = $ \ mu $,. $ \ mu $ = $ \ rho $$ \ mu $
Tenga en cuenta que H no depende de la variable de estado y, por lo tanto, la segunda condición de optimalidad es muy simple.
3) ¿Por qué estamos usando una segunda condición de optimalidad?
do - $ \ sigma $ = $ \ mu $ implica - $ \ sigma $ (. c / c) = $ \ rho $ $ \ Rightarrow $. $ \ mu $ / $ \ mu $. Junto con la segunda ecuación:
- $ \ sigma $ (. c / c) = $ \ rho $ $ \ Rightarrow $ .c / c = - ($ \ rho $ / $ \ sigma $)
Por lo tanto, la ruta óptima implica establecer el consumo en la ruta c (t) = c 0 mi ($ \ rho $ / $ \ sigma $) * t . Para encontrar c0, podemos usar la condición de transversalidad. Otra forma de encontrar c0, más directo y más intuitivo, es por la restricción $ \ int $ $ \ infty $ 0 c (t) .dt = ß0. De acuerdo con esta restricción, dada la ruta óptima de c:
$ \ int $ $ \ infty $ 0 do 0 mi ($ \ rho $ / $ \ sigma $) * t dt = ß0
$ \ Rightarrow $ - (c 0 mi (- $ \ rho $ / $ \ sigma $) * t ) / ($ \ rho $ / $ \ sigma $) | $ \ infty $ $ 0 $
Como resultado, la ruta para el consumo, ahora completamente caracterizada, viene dada por:
c (t) = ($ \ rho $ / $ \ sigma $). ß0.e - ($ \ rho $ / $ \ sigma $). t
Vemos que el consumo disminuye gradualmente con el tiempo, que el consumo es mayor si ß0 es mayor, y que $ \ rho $ y $ \ sigma $ afectan la ruta óptima para el consumo.
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