¿Cuál es el propósito del supuesto de no saciedad local en el primer teorema del bienestar?

El supuesto de maximización de ganancias implica

Si X_{yo} ≻ X_{yo}^{*} entonces {pags}_{yo} X_{yo} > {pags}_{yo} w_{yo}

$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$

Bien, esto solo dice que si el agente maximiza la utilidad / es racional, entonces si no elige un paquete estrictamente preferible a su paquete, entonces no debe ser asequible.

¿Por qué es necesario el supuesto local de no saciedad para luego decir

Si X_{yo} ⪰ X_{yo}^{*} entonces {pags}_{yo} X_{yo} \geq {pags}_{yo} w_{yo}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

¿Por qué no es esto simplemente automático desde el supuesto de maximización de ganancias? Si sabemos $x_i \succ x_i^* \implies p_ix_i > p_i w_i$ , ¿no es obvio que $x_i = x_i^* \implies p_ix_i = p_i w_i$ y entonces

Si X_{yo} ⪰ X_{yo}^{*} entonces {pags}_{yo} X_{yo} \geq {pags}_{yo} w_{yo}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

preferences welfare-economics Stan Shunpike
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Respuestas:

Los supuestos son diferentes. El primero establece que si un paquete es mejor que el óptimo, el consumidor no puede permitírselo. El segundo establece que si un paquete es tan bueno (no necesariamente mejor) que el óptimo, tiene que costar lo menos, no menos.

Considere un espacio con un solo tipo de bien, $x$ y una función de utilidad $U(x) = 0$ . Que la dotación del consumidor sea $w = 1$ . Mientras

Si X_{yo} ≻ X_{yo}^{*} entonces {pags}_{yo} X_{yo} > {pags}_{yo} w_{yo}

$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$ sigue siendo cierto

Si X_{yo} ⪰ X_{yo}^{*} entonces {pags}_{yo} X_{yo} \geq {pags}_{yo} w_{yo}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$ no lo es, porque

x^{*} = 0

$x^* = 0$ es a la vez óptimo y factible, por lo tanto

X^{*} ⪰ X^{*} Y pags X^{*} < pags w .

$x^* \succeq x^* \text{ AND } p x^* < p w.$ También se pueden construir ejemplos más complicados (bienes múltiples, no satisfacción global satisfecha).

Giskard
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Las matemáticas no me están ayudando a entender esto. ¿Cómo evitaría la saciedad local que un mercado alcance un estado óptimo pareto?

@BT Has publicado tu propia pregunta al respecto, ¿no?

Giskard

Bueno, publiqué una pregunta sobre las condiciones bajo las cuales se garantiza que el equilibrio sea pareto óptimo. La respuesta implica la saciedad local como condición, pero la pregunta no preguntó explícitamente por qué era una condición, y esta sí.

Creo que el problema es que este ejemplo no explica qué es la no saturación local o por qué es necesaria. Más bien, en cambio, proporciona un ejemplo de por qué la maximización de la utilidad no implica que la segunda afirmación sea necesariamente cierta. Hubiera preferido algo que explicara exactamente lo que proporciona la no saturación local que resuelve la situación ... que es lo que pide el título. Sin embargo, es un ejemplo muy inteligente

Stan Shunpike, el

@StanShunpike Es lamentable que, si ahora te entiendo correctamente, el título y el cuerpo de la pregunta son muy diferentes. También es lamentable que no hayas comentado cuando respondí la pregunta hace 5 meses ...

Giskard

Ok, creo que podría entender ahora por qué la no saturación local es importante para tender hacia una asignación de mercado óptima pareto. Considere la siguiente imagen, donde todos los círculos representan posibles asignaciones, y su posición en el gráfico representa la utilidad recibida por cada persona en un mercado simple de dos personas:

En este caso, X, Y, Z y D le dan a la persona 1 la misma utilidad. En tal situación, X, Y y Z son todos equilibrios posibles dados los mercados completos y el comportamiento de toma de precios a pesar de que no son pareto-óptimos.

En una situación de no saturación local, esta situación no podría existir y, por lo tanto, se garantiza un equilibrio óptimo pareto.

La optimización de pareto débil no requiere no saciedad local.

BT
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