Suposición de normalidad logarítmica en la fijación de precios de activos basada en el consumo

Considere un problema de maximización del consumidor representativo de tiempo discreto muy básico con la utilidad CRRA. Existe un activo arriesgado con tiempo precio que paga tiempo$t$$p_t$$t+1$ dividendo $d_{t+1}$ , y un activo sin riesgo con precio $p_t^f$ que paga un pago constante 1 en $t+1$ . Suponemos que los dividendos son una secuencia de variables aleatorias que siguen un proceso de Markov. Suponga además que el consumidor no tiene otras fuentes de ingresos (es decir, $y_t = 0 \ \forall t$ ). En el momento t el consumidor invierte la cantidad $\pi_t$en el activo de riesgo y cantidad $\pi_t^0$ en el activo sin riesgo. Por lo tanto, el problema de maximización puede expresarse como

$$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$$

Digamos que queremos encontrar la tasa de equilibrio sin riesgo y la prima de capital esperada. Para cerrar el modelo, a menudo se supone que se asume (ver, por ejemplo, el libro de Claus Munk, Teoría de fijación de precios de activos financieros, capítulo 8.3) que el crecimiento del consumo de logaritmo y los rendimientos brutos de riesgo logarítmico se distribuyen normalmente de manera conjunta. Es decir

$$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$$

donde los rendimientos brutos se definen como

$$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$$

Lo que no entiendo completamente es de dónde "provienen" los supuestos de distribución de registro normal. Sé que, dado que se trata de una economía de agente representativa, el consumo del agente debe ser igual al dividendo agregado en la economía. Pero dado que asumimos que no hay ingresos, , el único proceso de dividendos exógenos en la economía es d t y, por lo tanto, debería tener la misma distribución que el crecimiento del consumo. Sin embargo, mi impresión es que cuando decimos que la tasa de riesgo tiene una distribución logarítmica normal, esto realmente significa el proceso de dividendos, ya que es la 'parte aleatoria' en la definición de rendimientos (precio p t + $y_t = 0 \ \forall t$$d_t$$p_{t+1}$no es exógeno sino determinado dentro del modelo). Para mí, ahora parece que hemos hecho dos supuestos diferentes sobre el mismo proceso de dotación . ¿De dónde viene el supuesto de consumo o qué significa? ¿Cómo cambiaría la situación si el consumidor tuviera algún flujo de ingresos y t > 0 ?$d_t$$y_t > 0$

El típico lagrangiano de dos períodos es

$$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$$

Las condiciones de primer orden con respecto a son$c_t, \pi_t$

$$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$$

$$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$$

y así, usando también la definición del rendimiento bruto,

$$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$$

Combinando y ( 3 ) obtenemos$(1)$$(3)$

$$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$$

Por lo tanto, vemos que en el camino óptimo, el crecimiento del consumo es una función directa afín de los retornos de riesgo logarítmico. Esto, entre otras cosas, implica que su coeficiente de correlación es igual a la unidad.

La distribución normal se cierra bajo transformaciones afines (alternativamente, bajo escala y desplazamiento), por lo que si asumimos que los retornos de riesgo logarítmico se distribuyen normalmente, entonces el crecimiento del consumo también se distribuye normalmente (con diferentes medias y variaciones, por supuesto).

Tenga en cuenta que, aunque en general, el supuesto de normalidad articular es adicional cuando dos variables aleatorias normales no son independientes, aquí, el hecho de que una sea una función afín de la otra garantiza la normalidad conjunta. Según la condición de Cramer para la normalidad bivariada, debe darse el caso de que todas las combinaciones lineales de dos variables aleatorias normales tengan una distribución normal univariada. En nuestro caso tenemos (notación genérica) la vavriable aleatoria y la variable aleatoria X = un + b Y . Considerar$Y$$X = a+bY$

$$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$$

Entonces, para cualquier (excepto el vector cero que se excluye a priori), δ 1 X + δ 2 Y sigue una distribución normal si Y lo hace. Por lo tanto, es suficiente suponer que los retornos de riesgo logarítmico siguen una distribución normal para obtener también la normalidad conjunta.$(\delta_1, \delta_2)$$\delta_1X + \delta_2 Y$$Y$

Recientemente produje un documento que deriva la distribución de los rendimientos para todas las clases de activos y pasivos. El retorno logarítmico normal solo aparece en dos casos. El primero es con bonos de descuento de un solo período, el segundo con fusiones de efectivo por acciones. Viene de una suposición, creo originalmente por Boness para eliminar el problema en Markowitz de precios infinitamente negativos. Si bien se deriva lógicamente, tiene una suposición crítica que lo hace generalmente falso.

$\mu$$\bar{x}$

La dificultad ocurre cuando no se conocen los parámetros. Resulta que la prueba colapsa sin esa suposición, en general. Lo mismo es cierto para Black-Scholes. Estoy presentando un artículo en la conferencia SWFA esta primavera donde sostengo que si las suposiciones de la fórmula de Black-Scholes son literalmente ciertas, entonces no puede existir un estimador que converja con el parámetro de la población. Todos asumieron que la fórmula bajo conocimiento perfecto igualaba el estimador de parámetros. Nadie realmente verificó sus propiedades. En su trabajo inicial, Black y Scholes probaron empíricamente su fórmula e informaron que no funcionaba. Una vez que abandonas la suposición de que los parámetros son conocidos, las matemáticas salen de manera diferente. Lo suficientemente diferente como para no poder pensar de la misma manera.

$\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$$p_t$$p_t^*$

$(q_t,q_{t+1})$

$r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

$(p_t^*,p_{t+1}^*)$$(0,0)$$\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

$$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$$

Como no hay ninguna media, no puedes tomar expectativas, realizar una prueba F o una prueba, usar cualquier forma de mínimos cuadrados. Por supuesto, esto sería diferente si fuera una antigüedad.

Si se tratara de una antigüedad en una subasta, se obtiene la maldición del ganador. El mejor postor gana la oferta y la densidad limitante de las altas ofertas es la distribución de Gumbel. Entonces resolvería el mismo problema pero como la razón de dos distribuciones de Gumbel en lugar de dos distribuciones normales.

El problema no es realmente así de simple. La limitación de responsabilidad trunca todas las distribuciones subyacentes. La restricción presupuestaria intertemporal sesga todas las distribuciones subyacentes. Hay una distribución diferente para dividendos, fusiones por dinero en efectivo, fusiones por acciones o propiedades, bancarrota y una distribución de Cauchy truncada para los negocios en marcha como se indicó anteriormente. Hay seis tipos de distribuciones presentes para valores de renta variable en una mezcla.

Diferentes mercados con diferentes reglas y diferentes estados existenciales crean diferentes distribuciones. Un jarrón antiguo tiene el caso donde se cae y se rompe. También tiene el caso de desgaste o algún otro cambio en la calidad intrínseca. Finalmente, también tiene el caso de que si se destruyen suficientes vasos similares, el centro de la ubicación se mueve.

Finalmente, debido al truncamiento y la falta de una estadística suficiente para los parámetros, no existe un estimador no bayesiano computable y admisible.

Puede encontrar una derivación de la proporción de dos variantes normales y una explicación en http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

También puede encontrar lo que parece ser el primer documento sobre el tema en

Curtiss, JH (1941) Sobre la distribución del cociente de dos variables de oportunidad. Anales de Estadística Matemática, 12, 409-421.

También hay un documento de seguimiento en

Gurland, J. (1948) Fórmulas de inversión para la distribución de razones. Los Anales de Estadística Matemática, 19, 228-237

Para la forma autorregresiva de los métodos probabilistas y frecuentes en

White, JS (1958) La distribución limitante del coeficiente de correlación en serie en el caso explosivo. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 1188-1197,

y su generalización por Rao en

Rao, MM (1961) Consistencia y distribuciones límite de estimadores de parámetros en ecuaciones de diferencia estocásticas explosivas. Los Anales de Estadística Matemática, 32, 195-218

Mi artículo toma estos cuatro y otros documentos, como un documento de Koopman y uno de Jaynes, para construir las distribuciones si los parámetros verdaderos son desconocidos. Observa que el Libro Blanco anterior tiene una interpretación bayesiana y permite una solución bayesiana aunque no exista una solución no bayesiana.

$\log(R)$

Puede encontrar un artículo sobre la distribución de secantes hiperbólicos en

Ding, P. (2014) Tres ocurrencias de la distribución hiperbólica-secante. El estadístico estadounidense, 68, 32-35

Mi articulo esta en

Harris, D. (2017) La distribución de devoluciones. Revista de Finanzas Matemáticas, 7, 769-804

Antes de leer el mío, primero debe leer los cuatro documentos anteriores. Tampoco estaría de más leer el tomo ET Jaynes también. Desafortunadamente, es un trabajo polémico, pero no obstante es riguroso. Su libro es:

Jaynes, ET (2003) Teoría de la probabilidad: el lenguaje de la ciencia. Cambridge University Press, Cambridge, 205-207