Forma reducida de un modelo econométrico, problema de identificación y prueba

Buscando ayuda para entender el siguiente problema y cómo usar la forma reducida en econometría

Considere un modelo para la salud de un individuo:

$$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$$

suponga que todas las variables en la ecuación, con excepción del ejercicio, no están correlacionadas con u.

A) Escriba la forma reducida para el ejercicio y establezca las condiciones bajo las cuales se identifican los parámetros de la ecuación.

B) ¿Cómo se puede probar el supuesto de identificación en la parte c?

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¿Es correcto suponer que:

$$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$$ como la forma reducida?

y es la condición para la identificación de parámetros simplemente

$E(exercise|u)=0$

y como puedo probarlo? Pero además, ¿para qué sirve?

Esta es la pregunta muy estándar sobre las variables instrumentales de los modelos lineales de ecuación única. Dadas las primitivas de su pregunta, la única variable endógena es el ejercicio . Para responder a esta pregunta en particular, necesita una variable exógena, z , que satisfaga dos condiciones:

1. cov (z, u) = 0.
2. Debe haber una relación entre la variable endógena y esta variable exógena que está proponiendo, pero que no formaba parte del verdadero modelo postulado (el modelo estructural). En otras palabras, con , y ortogonal a todas sus variables explicativas (que no sean ejercicio) y a z. $$exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$$ $\phi\ne 0$$\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

Antes de continuar, un comentario. Por modelo estructural quiero decir, siguiendo la convención de Wooldridge y Goldberger, el modelo postulado. Es decir, el modelo que establece la relación causal entre la salud y sus covariables. Esta es una diferencia clave y un desacuerdo con las respuestas anteriores.

Ahora, volviendo al problema en cuestión, la condición 2 es lo que en la literatura de ecuaciones simultáneas llama la ecuación de forma reducida , que no es más que una proyección lineal de lo endógeno sobre todas las variables exógenas, incluida z.

Ahora, conecte el formulario reducido a su modelo postulado y obtendrá

$$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$$ donde , y . Según la definición de proyección lineal, no está correlacionado con todas las variables explicativas y, por lo tanto, los MCO de esta última ecuación producirán estimaciones consistentes para y , no el subyacente en el modelo verdadero.$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$$\delta=b_6\phi$$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$$\nu$$\alpha_i$$\delta$$b_i$

La identificación requiere un poco de manipulación en forma de matriz, pero esencialmente se reduce a la llamada condición de rango . Defina y para que su modelo estructural sea . Ahora defina . Por la condición 1 (cov (z, u) = 0 para que E (z, u) = 0), Si multiplica los lados del modelo estructural por y tome las expectativas que tiene condición de rango indica que$\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$$\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$$health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$E ( z u ) = 0 z E ( z x ′ ) b = E ( z y ) E ( z x ′ ) r a n k ( E ( z x ′ ) = 6 b [ E ( z x ′ ) ] - 1 E ( z y $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

$$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$$ $\mathbf{z}$ $$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$$ $\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$es el rango completo de la columna. En este ejemplo particular y las condiciones dadas en z esto es equivalente a Por lo tanto, tenemos 6 ecuaciones en 6 incógnitas. Por lo tanto, existe una única la solución para el sistema, es decir, se identifica y es igual a , según se desee.$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$$\mathbf{b}$$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

Observaciones: la condición 1 es útil para obtener la condición de momento, pero el modelo de forma reducida con es crucial para la condición de rango. Ambas condiciones son habituales.$\phi$

En este punto, debería quedar claro por qué necesitamos esto. Por un lado, sin z el estimador OLS del modelo verdadero producirá estimadores inconsistentes no solo para sino para todo . Por otro lado (y algo relacionado), nuestros parámetros se identifican de manera única, por lo que estamos seguros de que estamos estimando la verdadera relación causal como se indica en nuestro modelo verdadero.b $b_6$$b_i$

Con respecto a la prueba, la condición 2 (z y el ejercicio están parcialmente correlacionados) se puede probar directamente y siempre debe informar ese paso contrario al comentario en una respuesta anterior. Existe una gran literatura en relación con este paso, especialmente la literatura de instrumentos débiles.

Sin embargo, la segunda condición no se puede probar directamente. A veces puede invocar la teoría económica para justificar o proporcionar hipótesis alternativas que respalden el uso de z.

La pregunta no tiene mucho sentido para mí como se dijo. Si el problema dice que el ejercicio es endógeno (correlacionado con el término de error), no puede suponer lo contrario en la solución. Además, generalmente se habla de una forma reducida frente a una forma estructural en el contexto de la estimación IV. Si el ejercicio es endógeno, necesita un instrumento para hacerlo (variable que predice el ejercicio, pero no afecta la salud de otra manera) para obtener efectos causales. Por ejemplo, si algunas personas en su muestra ganaron al azar cupones de membresía de gimnasio, ese podría ser un instrumento válido.

Los supuestos de identificación serían entonces

1. cupón realmente predice el ejercicio

2. el cupón es ortogonal para$u$

Lo que se llama forma estructural serían dos ecuaciones, una su modelo original, la otra regresión del ejercicio en el cupón y otras variables explicativas del modelo original (la primera etapa). La forma reducida sería cuando sustituyes la primera etapa en la ecuación principal, por lo que regresas la salud según la edad, el peso, ..., el trabajo y el cupón (pero no el ejercicio , ya que se ha sustituido). La forma reducida a veces se usa para explicar las propiedades de la estimación IV, pero AFAIK no se usa mucho en la práctica.