Derivar condiciones de productividad marginal en el documento DW Jorgenson

Estoy leyendo Jorgenson, Dale W. (1963), "Capital Theory and Investment Behavior", American Economic Review. Vol. 53, N ° 2, págs. 247-259. http://www.jstor.org/stable/pdfplus/1823868.pdf

Me gustaría saber cómo derivar las condiciones de productividad marginal dadas en la página 4.

Este es un problema determinista de control óptimo en tiempo continuo. Jorgenson usa términos nominales, por lo que los precios están explícitamente presentes. Para copiar el original

y queremos llegar a

$L$$K$$Q = F(K,L), F_L, F_K >0, F_{LL}, F_{KK} <0$$\dot K = I-\delta K$

Para resolver esto, podemos configurar el valor actual de Hamiltoniano (análogo al de Lagrange)

$$H = R(t) - D(t) + \lambda \cdot [I-\delta K]$$

$\lambda$$L$$I$$K$

$$\frac {\partial H}{\partial L} = 0 \Rightarrow \frac {\partial R(t)}{\partial L} -\frac {\partial D(t)}{\partial L}=0$$

$$\Rightarrow \frac {\partial }{\partial L} \left(pQ-sL\right) -u\frac {\partial }{\partial L}\left(pQ-sL\right)=0$$

$$\implies (1-u)\left(p\frac {\partial Q}{\partial L} - s\right) = 0 \implies \frac {\partial Q}{\partial L} = s/p \tag{1}$$

también

$$\frac {\partial H}{\partial I} = 0 \implies -q +\lambda =0 \implies q = \lambda \tag{2}$$

de la cual también obtenemos (que se necesitará a continuación)

$$\dot \lambda = \dot q \tag{3}$$

$K$

$$\frac {\partial H}{\partial K} = r\lambda - \dot \lambda$$

$$\implies \frac {\partial R(t)}{\partial K} -\frac {\partial D(t)}{\partial K} = r\lambda - \dot \lambda$$

$$\implies p\frac {\partial Q }{\partial K} -up\frac {\partial Q }{\partial K} + (v\delta q + wrq - x\dot q) -\lambda \delta = r\lambda - \dot \lambda \tag {4}$$

El resto son manipulaciones algebraicas (¿son correctas?)

Aquí se encuentra una buena presentación educativa sobre el funcionamiento del Control Óptimo en Economía , apéndice matemático A.3, p. 604. El trabajo de Dorfman de 1969 sigue siendo un clásico en el mapeo de la estructura matemática del control óptimo a los conceptos económicos y la intuición, Dorfman, R. (1969). Una interpretación económica de la teoría del control óptimo. The American Economic Review, 817-831.