Variación menor de estimadores en sentido matricial

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Al comparar las variaciones asintóticas, generalmente se concluye que una matriz de covarianza A es más eficiente siempre que la diferencia B - A ≥ 0 (donde ≥ 0 significa que la diferencia es una matriz semidefinida positiva).

Sin embargo, esta comparación involucra todos los elementos en las matrices, tanto los elementos diagonales (varianzas asintóticas de cada estimador beta) como los no diagonales (covarianzas entre estimadores), mientras que generalmente estamos interesados ​​en estimadores para un coeficiente beta particular que tiene un pequeño errores estándar

¿Alguien podría explicar por qué se prefiere este método a una comparación que implica solo los elementos diagonales? ¿Podría ser el caso de que algún elemento diagonal sea más pequeño en B mientras que B - A ≥ 0?

¡Gracias!

econ86
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Hola: la covarianza de un vector aleatorio, , es su matriz de covarianza junto con los elementos diagonales. Pero la varianza escalar de un vector aleatorio, X , es X A X, que es un escalar. Entonces, es por eso que los comparan de esa manera. Si una matriz es "mayor", entonces la varianza de un vector aleatorio dado, X siempre es menor si tiene A como matriz de covarianza en lugar de B como matriz de covarianza. XXXUNAXXUNAsi
Mark Leeds
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Un estimador puede ser más eficiente que otro, no está claro qué significa escribir "una matriz de covarianza A es más eficiente"
Bertrand
Tenga en cuenta que la eficiencia denota si la varianza de algún estimador alcanza su límite inferior CR, por lo que no creo que el término "eficiente" se aplique aquí, al menos de la forma en que explicó la noción de que es mayor o igual que cero. si-UNA
Mark Leeds
¡Gracias! Solo para aclarar, 1) Bertrand: de hecho, "una matriz de covarianza A es más eficiente" tiene poco sentido. Quise decir que un estimador con matriz de covarianza A es más eficiente que otro estimador. 2) Mark, de hecho debería haber usado el término "eficiencia relativa".
econ86

Respuestas:

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Eficiencia relativa entre dos estimadores insesgados theta A y θ B de un parámetro de vector desconocido θ 0R K se define generalmente como sigue (véase, por ejemplo Ruud, 2001). El estimador θ A se dice que es eficaz en relación con θ B si tenemos: V [ θ A ]Ω A < < Ω BV [ θ B ] .θ^Aθ^Bθ0RKθ^Aθ^B

V[θ^A]ΩA<<ΩBV[θ^B].

Si ΩBΩA es positivo definido, entonces los términos diagonales de ΩB y ΩA son necesariamente tales que σBii2>σAii2.De hecho, si vT(Ωsi-ΩUNA)v>0 0 para cualquier v0 0 entonces para v=miyo tomamos los términos diagonales de Ωsi-ΩUNA y encuentra queσsiyoyo2>σUNAyoyo2.Lo contrario, sin embargo, no es cierto: las meras condicionesσsiyoyo2>σUNAyoyo2 no garantizan queΩsi-ΩUNA sea ​​positivo definitivo. Las covarianzas son importantes.

  • La respuesta a la segunda pregunta es: no es nunca sucede que σsiyoyo2<σUNAyoyo2 cuando Ωsi>>ΩUNA .

  • La respuesta a su primera pregunta es: es importante considerar todos los términos de covarianza. Si queremos que la elipse de confianza (en cualquier umbral) de θ Una estar anidada dentro de la elipse de confianza de θ B entonces necesitamos Ω Un < < Ω B y no sólo σ 2 A i i < sigma 2 B i i . θ^UNAθ^siΩUNA<<ΩsiσUNAyoyo2<σsiyoyo2

Ver Ruud, (2001, capítulo 9) para una prueba y explicaciones detalladas. Aquí se proporciona un ejemplo que ilustra que las elipses de confianza están anidadas cuando Ωsi-ΩUNA positivo definido, y no anidado si Ωsi-ΩUNA no es positivo definido.

Ejemplo: θ A ( un )

θ^UNA(una)norte(0 0,ΩUNA(una)),θ^sinorte(0 0,Ωsi)ΩUNA(una)=(4 4unauna9 9),Ωsi=(5 50 00 010).

Para una=0 0 la matriz Ωsi-ΩUNA(0 0) es positiva definida y las elipses de confianza umbral del 95% están anidadas. La figura siguiente (panel izquierdo) representa las curvas de iso-centradas en θ0 0=0 0 y cuyas ecuaciones están dadas por vT(ΩUNA(0 0))-1v=5.99 y XTΩsi-1X=5.99e ilustra que para una=0 0 el último se anida dentro del primero. Esto ya no es cierto para una=-5 5 (panel derecho) en cuyo caso Ωsi-ΩUNA(-5 5) ya no es definitivo positivo. En este caso la probabilidad de que theta A está más lejos que θ B del valor verdadero θ 0 = 0 es positivo, y θ A ya no es eficiente (caso con un = - 5θ^UNAθ^siθ0 0=0 0θ^UNAuna=-5 5) Relativamente a theta B . Tenga en cuenta que las varianzas siempre satisfacen σ 2 B i i > σ 2 A i i pero esto no es suficiente para anidar las elipses, las covarianzas también deben satisfacer ( σ 2 B 11 - σ 2 A 11 ) ( σ 2 B 22 - σ 2 A 22 ) - ( σ B 12 - σ A 12 ) 2θ^siσsiyoyo2>σUNAyoyo2(σsi112-σUNA112)(σsi222-σUNA222)-(σsi12-σUNA12)2>0 0 , que no es el caso en este ejemplo parauna=-5 5 . ingrese la descripción de la imagen aquí

Bertrand
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siUNA(si-UNA)>0 0
θ^UNAΩUNAUNA
Bertrand, he encontrado tu respuesta muy útil. ¿Podría aclarar (si está relacionado con mi primera pregunta) qué quiere decir con la "elipse de confianza" (en cualquier umbral) de un estimador anidado dentro de la elipse de confianza de otro? ¡Gracias!
econ86
Bertrand: Creo que tu respuesta fue genial. Simplemente no estaba seguro de si esa era la pregunta que estaba haciendo el OP. Parece que fue mi error y gracias por una gran explicación.
Mark Leeds
econ86: he añadido un ejemplo en mi última edición, espero que ayude.
Bertrand