Variación menor de estimadores en sentido matricial

Al comparar las variaciones asintóticas, generalmente se concluye que una matriz de covarianza A es más eficiente siempre que la diferencia B - A ≥ 0 (donde ≥ 0 significa que la diferencia es una matriz semidefinida positiva).

Sin embargo, esta comparación involucra todos los elementos en las matrices, tanto los elementos diagonales (varianzas asintóticas de cada estimador beta) como los no diagonales (covarianzas entre estimadores), mientras que generalmente estamos interesados ​​en estimadores para un coeficiente beta particular que tiene un pequeño errores estándar

¿Alguien podría explicar por qué se prefiere este método a una comparación que implica solo los elementos diagonales? ¿Podría ser el caso de que algún elemento diagonal sea más pequeño en B mientras que B - A ≥ 0?

¡Gracias!

Eficiencia relativa entre dos estimadores insesgados theta A y θ B de un parámetro de vector desconocido θ 0 ∈ R K se define generalmente como sigue (véase, por ejemplo Ruud, 2001). El estimador θ A se dice que es eficaz en relación con θ B si tenemos: V [ θ A ] ≡ Ω A < < Ω B ≡ V [ θ B ] .$\widehat{\theta }_{A}$$\widehat{\theta }_{B}$$\theta _{0}\in \mathbb{R}^{K}$$\widehat{\theta }_{A}$$\widehat{\theta }_{B}$

$$\mathrm{V}\left[ \widehat{\theta }_{A}\right] \equiv \Omega _{A}<<\Omega _{B}\equiv \mathrm{V}\left[ \widehat{\theta }_{B}\right] .$$

Si $\Omega _{B}-\Omega _{A}$ es positivo definido, entonces los términos diagonales de $\Omega _{B}$ y $\Omega _{A}$ son necesariamente tales que $\sigma _{Bii}^{2}>\sigma _{Aii}^{2}.$De hecho, si $v^{T}\left( \Omega _{B}-\Omega _{A}\right) v>0$ para cualquier $v\neq 0$ entonces para $v=e_{i}$ tomamos los términos diagonales de $\Omega _{B}-\Omega _{A}$ y encuentra que$\sigma _{Bii}^{2}>\sigma _{Aii}^{2}.$Lo contrario, sin embargo, no es cierto: las meras condiciones$\sigma _{Bii}^{2}>\sigma _{Aii}^{2}$ no garantizan que$\Omega _{B}-\Omega _{A}$ sea ​​positivo definitivo. Las covarianzas son importantes.

• La respuesta a la segunda pregunta es: no es nunca sucede que $\sigma _{Bii}^{2}<\sigma _{Aii}^{2}$ cuando $\Omega _{B}>>\Omega _{A}$ .

• La respuesta a su primera pregunta es: es importante considerar todos los términos de covarianza. Si queremos que la elipse de confianza (en cualquier umbral) de θ Una estar anidada dentro de la elipse de confianza de θ B entonces necesitamos Ω Un < < Ω B y no sólo σ 2 A i i < sigma 2 B i i . $\widehat{\theta }_{A}$$\widehat{\theta }_{B}$$\Omega _{A}<<\Omega _{B}$$\sigma _{Aii}^{2}<\sigma _{Bii}^{2}$

Ver Ruud, (2001, capítulo 9) para una prueba y explicaciones detalladas. Aquí se proporciona un ejemplo que ilustra que las elipses de confianza están anidadas cuando $\Omega _{B}-\Omega _{A}$ positivo definido, y no anidado si $\Omega _{B}-\Omega _{A}$ no es positivo definido.

Ejemplo: θ A ( un )

$$\begin{eqnarray*} \widehat{\theta }_{A}\left( a\right) &\sim &\mathcal{N}\left( 0,\Omega _{A}\left( a\right) \right) ,\qquad \widehat{\theta }_{B}\sim \mathcal{N}% \left( 0,\Omega _{B}\right) \\ \Omega _{A}\left( a\right) &=&\left( \begin{array}{cc} 4 & a \\ a & 9% \end{array}% \right) ,\qquad \Omega _{B}=\left( \begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 0 & 10% \end{array}% \right). \end{eqnarray*}$$

Para $a=0$ la matriz $\Omega _{B}-\Omega _{A}\left( 0\right)$ es positiva definida y las elipses de confianza umbral del $95\%$ están anidadas. La figura siguiente (panel izquierdo) representa las curvas de iso-centradas en $\theta _{0}=0$ y cuyas ecuaciones están dadas por $v^{T}\left( \Omega _{A}\left( 0\right) \right) ^{-1}v=5.99$ y $x^{T}\Omega _{B}^{-1}x=5.99$e ilustra que para $a=0$ el último se anida dentro del primero. Esto ya no es cierto para $a=-5$ (panel derecho) en cuyo caso $\Omega _{B}-\Omega _{A}\left( -5\right)$ ya no es definitivo positivo. En este caso la probabilidad de que theta A está más lejos que θ B del valor verdadero θ 0 = 0 es positivo, y θ A ya no es eficiente (caso con un = - 5$\widehat{\theta }_{A}$$\widehat{\theta }_{B}$$% \theta _{0}=0$$\widehat{\theta }_{A}$$a=-5$) Relativamente a theta B . Tenga en cuenta que las varianzas siempre satisfacen σ 2 B i i > σ 2 A i i pero esto no es suficiente para anidar las elipses, las covarianzas también deben satisfacer ( σ 2 B 11 - σ 2 A 11 ) ( σ 2 B 22 - σ 2 A 22 ) - ( σ B 12 - σ A 12 ) 2$\widehat{\theta }_{B}$$\sigma _{Bii}^{2}>\sigma _{Aii}^{2}$$\left( \sigma _{B11}^{2}-\sigma _{A11}^{2}\right) \left( \sigma _{B22}^{2}-\sigma _{A22}^{2}\right) -\left( \sigma _{B12}-\sigma _{A12}\right) ^{2}>0$ , que no es el caso en este ejemplo para$a=-5$ .