Como primer comentario: los axiomas Anscombe-Aumann, en particular la Independencia, se definen sobre los actos que llevan el espacio de estado a un espacio lineal (generalmente loterías simples sobre objetos de consumo). Incluso cuando consideramos la restricción del modelo a actos puramente subjetivamente inciertos, aún necesitamos emplear el modelo completo o perderemos información.
SXΔ(X)Xf:S→Δ(X)E⊆Sf−Eg
f−Eg{f(s) if x∈Eg(s) if x∉E.
f−Eh≿g−Ehf−Ech≿g−Echf≿g.
Asuma el antecedente del STP. De e independencia tenemos que
Tenga en cuenta que podemos reescribir esto como
y, aplicando la independencia nuevamente, obtenemos
f−Eh≿g−Eh
12f−Eh+12f−Ech≿12g−Eh+12f−Ech.
12f+12h≿12g−Ef+12h
f≿g−Ef.(1)
De manera análoga, desde e independencia tenemos que
Nuevamente, podemos reescribir como
y, aplicando la independencia nuevamente, obtenemos
f−Ech≿g−Ech
12f−Ech+12g−Eh≿12g−Ech+12g−Eh.
12g−Ef+12h≿12g+12h
g−Ef≿g.(2)
La combinación de (1) y (2) por transitividad produce las relaciones deseadas. Volviendo a la observación preliminar, observe que para aplicar la independencia, necesitamos mezclar actos, apelando al riesgo objetivo. Por lo tanto, incluso cuando , y tienen ningún riesgo objetivo, todavía necesitamos actos riesgosos para servir como intermediario en la prueba. En cierto sentido, esta es la gran idea de todo el marco de AA: utilizar el riesgo objetivo para evitar la necesidad de un espacio de estado infinito utilizando la linealidad de las expectativas para forzar el STP.fgh
Observe que solo se utilizaron independencia y transitividad. Esto debería indicar que incluso la UE dependiente del estado (donde falla la monotonicidad / independencia del estado) o la UE de Bewley (donde la integridad es relajada) aún satisfará al STP.
Edite en respuesta a un comentario: llamemos a la noción anterior del Principio Sure Thing STP1 y digamos que la preferencia satisface STP2 si para todos los . Entonces, si es un pedido , satisface STP1 si y solo si satisface STP2.f−Eh≿g−Eh⟺f−Eh′≿g−Eh′f,g,h,h′≿
Primero suponga que STP2 se mantiene y que y . Entonces, por STP2 tenemos
La transitividad implica ; STP1 se mantiene.f−Eh≿g−Ehf−Ech≿g−Ech
f=f−Ef≿g−Ef and g−Ef=f−Ecg≿g.
f≿g
A continuación, suponga que STP1 se mantiene y . Defina y análoga. Por definición,
entonces nuestra suposición es idénticamente que
Además así que tenemos, por la reflexividad de preferencia, que
Ahora podemos aplicar STP1 a (3) y (4) para obtener esef−Eh≿g−Ehf^=f−Eh′g^
f^−Eh=f−Eh and g^−Eh=g−Eh,
f^−Eh≿g^−Eh.(3)
f^−Ech=g^−Ech=h′−Ehf^−Ech≿g^−Ech.(4)
f^≿g^, que, dada su definición, es exactamente lo que necesitamos mostrar para que STP2 se mantenga.