¿El camino de la silla de montar no puede atravesar el origen en el modelo de Ramsey?

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En mi caso, la función de utilidad es CEIS y discreta, la función de producción es $ f (k_ {t}) = k_ {t} ^ \ alpha $, la restricción de presupuesto es $ f (k_ {t}) + (1- \ delta) k_ {t} = c_ {t} + k_ {t + 1} $. Utilizo la matriz jacobiana y la factorización de Schur para obtener la función de política linealizada para el consumo, por lo tanto puedo trazar el camino de la silla de montar y los brazos inestables. Al final se ven a continuación. Sin embargo, leí que el camino de la silla de montar debe pasar por el origen, lo que no está bien en mi trama.

Así que mi pregunta es: ¿el camino de la silla de montar siempre pasa por el origen?

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user68863
fuente
¿Qué función de utilidad está utilizando?
caverac
este: $ U = \ sum_ {t} ^ {\ infty} \ beta ^ {t} \ bigg (\ frac {c_ {t} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma} -1 \ bigg PS
user68863
y calibración: $ \ gamma = 2 $, $ \ beta = 0.9964 $, $ \ alpha = 0.36 $, $ \ delta = 0.025 $
user68863

Respuestas:

1

Supongo que ya has pasado por el álgebra a continuación, pero solo por contexto, el problema que estás tratando de resolver es

$$ \ max_ {c} \ sum_ {t = 0} ^ {+ \ infty} \ beta ^ t u (c_t) \\ \ text {s.t.} ~~ f (k_t) + (1- \ delta) k_t = c_t + k_ {t + 1} \ etiqueta {1} $$

donde $ f (k_t) = k_t ^ \ alpha $ y

$$ u (c_t) = \ frac {c_t ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma} - 1 \ tag {2} $$

El problema en (1) se puede convertir en las dos ecuaciones acopladas

\ begin {eqnarray} u '(c_t) & amp; = & amp; \ beta [1 + f '(k_ {t + 1}) - \ delta] u' (c_ {t + 1}) \\ k_ {t + 1} & amp; = & amp; f (k_t) + (1- \ delta) k_t - c_t \ tag {3} \ end {eqnarray}

donde $ u '(x) = x ^ {- \ gamma} $, y $ f' (x) = \ alpha x ^ {\ alpha-1} $. Estos primeros de ecs. (3) se puede invertir para obtener una expresión para $ c_ {t + 1} $ en términos de $ (k_t, c_t) $, lo que lleva a

\ begin {eqnarray} c_ {t + 1} & amp; = & amp; \ beta ^ {1 / \ gamma} c_t [1 + \ alpha [k_t ^ \ alpha + (1- \ delta) k_t - c_t] ^ {\ alpha-1} - \ delta] ^ {1 / \ gamma} \ \ k_ {t + 1} & amp; = & amp; f (k_t) + (1- \ delta) k_t - c_t \ tag {4} \ end {eqnarray}

Que se puede expresar como

$$ {\ bf x} _ {t + 1} = {\ bf F} ({\ bf x} _ {t}) ~~~ \ mbox {con} ~~~ {\ bf x} _t = \ left (\ comience {array} {c} c_ {t} \\ k_ {t} \ end {array} \ right) \ tag {5} $$

Un punto fijo $ {\ bf x} ^ * $ del mapa $ {\ bf F} $ es tal que

$$ {\ bf x} ^ * = {\ bf F} ({\ bf x} ^ *) \ tag {6} $$

es decir, un punto para el cual el sistema no evoluciona. Si usa $ \ gamma = 2 $, $ \ beta = 0.9964 $, $ \ alpha = 0.36 $, $ \ delta = 0.025 $ este punto es (se encuentra al resolver la ecuación (6))

$$ {\ bf x} ^ * = \ left (\ begin {array} {c} c ^ * \\ k ^ * \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} 2.84829 \\ 52.2808 \ end {array} \ right) \ tag {7} $$

que es claramente diferente de cero! Puede linealizar $ {\ bf F} $ alrededor de $ {\ bf x} ^ * $ y escribir el resultado como

$$ {\ bf y} _ {t + 1} = {\ bf J} {\ bf y} _t ~~~ \ mbox {where} ~~~ {\ bf y} _t = {\ bf x} _ {t} - {\ bf x} ^ *, ~~~ {\ bf J} = \ left. \ frac {\ partial {\ bf J}} {\ partial {\ bf x}} \ right | _ {{\ bf x } = {\ bf x} ^ *} \ tag {8} $$

¿Es este último sistema el que tiene un punto de silla en $ {\ bf y} = 0 $?

caverac
fuente
Gracias @caverac! Hice exactamente lo mismo y el camino de la silla realmente pasa por el punto de estado estable, pero simplemente no pasa por el origen, lo cual no sé por qué. camino de la silla de montar debe pasar por el origen ¿no?
user68863
@ user68863 Pasa por el origen del sistema linealizado $ {\ bf y} _ {t + 1} = J {\ bf y} _t $ (Eq. (8)), pero no necesita pasar por $ {\ bf x} = 0 $
caverac
¡Gracias !, así que lo que hice fue correcto. ¿Pero podemos transformar esta función de política linealizada en algo cóncavo? mi maestra dijo que el camino de la silla de montar debe verse como el lugar del capital (la línea azul).
user68863
@ user68863 Las propiedades del punto fijo $ {\ bf x} ^ * $ están determinadas por los valores propios de $ J $, y estas están establecidas por el problema. Tal vez si cambia la función de costo, o la restricción, podría hacer que el problema sea convexo.
caverac
¡gracias! el único problema ahora es que el área debajo de la ruta del sillín debe tener los caminos divergentes en dirección a la derecha, pero cuando intento algunos puntos de inicio muy cerca del camino de la silla (pero aún en el área debajo de él), obtuve los caminos divergentes Hacia el noroeste. Usé la integración de bakward como se describe en este enlace: ch.mathworks.com/company/newsletters/articles/… Sé que Ode45 es para tiempo continuo y en mi caso es tiempo discreto. ¿Pero aun así no debería haber problema con el camino divergente?
user68863