En el modelo New Keynesian linealizado logarítmicamente, ¿qué significan realmente , , ?

Esta puede ser una pregunta extraña, pero desafortunadamente estoy confundido por los términos. Supongamos que el nuevo modelo keynesiano linealizado logarítmico como lo sugiere Gali aquí: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

Mi primera pregunta es, se supone que el valor estable hace una linealización de , salida, pero ¿es un valor constante, o la ruta de salida constante completa? De manera equivalente, ¿ es acerca de cómo evolucionará la producción si evoluciona sin factores estocásticos y errores de acuerdo con la tasa natural a largo plazo?$Y$$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

Mi segunda pregunta, relacionada con la primera pregunta, es si refiere a salida total o salida normalizada. Es decir, si la economía tiene una tasa de crecimiento de producción positiva, ¿ crecerá ? ¿O es una salida normalizada que no cambia sin elementos estocásticos?$Y_t$$Y_t$

La tercera pregunta es, ¿qué significa realmente. Según tengo entendido, es solo . ¿Es esto correcto?$y_t$$\log Y_t$

El hecho de que exista la ecuación de euler de consumo parece apoyar la intuición de que es una ruta de salida estable, no un valor constante constante, ya que la tasa de interés real a menudo es positiva para la economía. Mi confusión surge a partir de aquí, y no estoy seguro de si se trata de una comprensión correcta.$Y$

La linealización logarítmica se realiza en la vecindad de un estado estable con inflación cero, producción constante y márgenes constantes sobre el costo marginal, como se indica en la diapositiva 11 de la presentación de Galí que usted vincula. Por lo tanto, está destinado a ser un valor constante, el nivel de salida de estado estable alrededor del cual se realiza la linealización logarítmica. es solo el nivel de producción total en el período , mientras que es el valor de registro de la producción total, como usted dice.$Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

Varios puntos adicionales que parecen ser relevantes aquí:

• Esta derivación del modelo nuevo keynesiano básico se realiza bajo el supuesto de que no hay una tendencia de crecimiento del producto en estado estacionario. Solo podemos estar seguros de que las ecuaciones linealizadas logarítmicamente son aproximadamente correctas para situaciones en las que cualquier desviación de este estado estable de crecimiento cero es lo suficientemente pequeña. Obviamente, dado que vivimos en un mundo con un crecimiento de tendencia notablemente positivo, esto es potencialmente un problema, por lo que es una preocupación muy válida de su parte.
• De hecho, creo que las ecuaciones son muy similares cuando logramos linealizar alrededor de un estado estable con un crecimiento positivo de la productividad de tendencia (pero manteniendo el supuesto de inflación de tendencia cero). En particular, cuando se indica en términos de la brecha del producto y la tasa de interés natural como en la ecuación de Galí (10), la ecuación intertemporal de Euler es exactamente la misma (aunque tenga en cuenta que la tasa natural en estado estable es mayor, donde es la tasa de crecimiento de la productividad de la tendencia logarítmica). La nueva curva de Phillips keynesiana es un poco más desordenada: en el caso de preferencias de registro , hay varias cancelaciones agradables y obtenemos exactamente el mismo NKPC, pero para otros$r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$$\sigma$la tasa de descuento en la inflación futura ya no es . Sin embargo, esto es mucho más molesto de manejar, por lo que Galí lo evitó por la simple exposición y se quedó con el estado estable de crecimiento cero.$\beta$
• Como se mencionó anteriormente, ni , ni son "salida normalizada" de ningún tipo. Sin embargo, la brecha de producción definida en la ecuación de Galí (7) es una salida de registro efectivamente normalizada, restando el registro de "salida natural" que esperaríamos en un flexible -precio mundial dado productividad de registro . En este sentido, el modelo puede acomodar fluctuaciones en la productividad; pero como se indicó anteriormente, si estas fluctuaciones son demasiado grandes, entonces la linealización logarítmica alrededor del crecimiento de tendencia cero comienza a romperse, y si tenemos que reescribir el NKPC en una forma diferente para dar cuenta de esto.$Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$$\sigma\neq 1$
• Finalmente, estoy un poco confundido con el último párrafo, pero parece implicar que el modelo puede tener una tasa de crecimiento positiva, "ya que la tasa de interés real a menudo es positiva para la economía". Esto es un malentendido: la tasa de interés real en estado estable en este modelo es positiva porque los agentes en el modelo tienen preferencia de tiempo puro, con una tasa de descuento . Si observa debajo de la ecuación de Galí (10), verá que cuando no hay cambio de productividad, la tasa de interés real "natural" es , donde .$\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

La siguiente publicación explica de una manera algo más fácil lo que sucede exactamente cuando registramos linealizar un modelo.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

Revisar el ejemplo proporcionado debería dejar en claro cuáles son los pasos individuales.

Divulgación completa: no he leído las notas de la conferencia que proporcionó con especial cuidado, pero creo que puedo responder a su pregunta.

Editar: Atención, al no leer cuidadosamente el enlace proporcionado por la pregunta, me perdí algo.

Los modelos estándar de New Keynesian (como el que presentó Gali) están modelados sin crecimiento. Si escribe el modelo, puede representarlo como una ecuación de diferencia:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

donde contiene todas las variables relevantes y representa los choques para la economía. El "estado estable" generalmente se refiere al estado del mundo donde es constante (piense en una solución estable para una ecuación diferencial / diferencia) y , por lo que podría escribirlo como la solución para:Z t X t Z t = $X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

en cuyo caso, sería el valor de estado estable (observe los subíndices de tiempo, a veces también se hace denotando el estado estable con barras generales ). Esto es lo que él llama y es un valor constante.$X$$\bar{X}$$Y$

Para la segunda pregunta, no he leído con atención, por lo que no puedo estar 100% seguro, pero generalmente cuando una variable se escribe como hace referencia al valor real que se toma (es decir, si resolvió el modelo y lo simuló exactamente , este es el valor que tendría).$X_t$

Para la tercera pregunta, creo que una comprensión más profunda de la linealización logarítmica lo responderá por usted. La linealización logarítmica en su corazón es solo una expansión de Taylor alrededor del estado estacionario. Considere una ecuación genérica . Hay 3 pasos básicos para la linealización logarítmica (actualicé mi memoria aquí ).$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• Tomar registros
• Expansión Taylor de primer orden
• Álgebra

Primero tomamos troncos,

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

Si hacemos una expansión de Taylor de primer orden alrededor del estado estacionario, entonces podemos escribir:

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Así podemos escribir:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Recuerde que en el estado estacionario y yo también multiplicaré por uno en varios lugares ( etc ...), entonces$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

Ahora defina , , y . Esta es la desviación porcentual de de (y correspondientemente para y ). Luego puede escribir la ecuación linealizada logarítmica como:$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

Dos cosas finales Primero, una sutileza que me pilló desprevenido la primera vez que cambié entre el porcentaje de desviación y los valores verdaderos y es posible que desee tener en cuenta; los valores que normalmente no son negativos pueden ser negativos porque solo significa que está ese porcentaje por debajo del estado estacionario. En segundo lugar, las formas funcionales generalmente hacen que se simplifiquen bastante bien, como probablemente haya visto en las ecuaciones linealizadas logarítmicas presentadas.

En este ejemplo, Gali está usando como se ve en la otra respuesta, así que espero que esto proporcione cierta intuición de lo que está sucediendo en otros lugares.$y_t := \log Y_t$

Espero que esto haya ayudado.