Estabilidad del equilibrio en estado estacionario para el modelo de generación superpuesto

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De la Introducción de Daron Acemoglu al crecimiento económico moderno, la propuesta 9.4 es que

En el modelo de generaciones superpuestas con hogares de dos períodos, tecnología Cobb-Douglas y preferencias CRRA, existe un equilibrio único de estado estacionario con la relación capital-trabajo k * dada por (9.15) y siempre que θ1 , Este equilibrio en estado estacionario es globalmente estable para todo k (0)> 0.

donde (9.15) es:

(1+n)[1+β1θ(α(k)α1)θ1θ]=(1α)(k)α1

Mi pregunta es ¿por qué θ tiene que ser mayor o igual que 1 para que el equilibrio en estado estable sea globalmente estable?

Como el libro de texto deriva en (9.17):

k(t+1)=(1α)k(t)α(1+n)[1+β1θ(αk(t+1)α1)θ1θ]

Podemos reorganizar para obtener:

k(t)=[1+n1α[k(t+1)+β1θαθ1θk(t+1)(α1)(11θ)+1]]1α .....(1)

Sea , α = 0.25 , β = 0.75 .n=0.01α=0.25β=0.75

Si , podemos trazar el gráfico: θ=1ingrese la descripción de la imagen aquí

La línea azul es la ecuación (1) donde y la línea roja es la línea de 45 grados. Se puede ver que para todo k> 0, k convergerá al estado estacionario k *. El equilibrio en estado estacionario es globalmente estable.θ=1

El caso es similar para , en el que el equilibrio en estado estacionario es globalmente estable.θ>1

Si , como θ = 0.5 , podemos trazar el gráfico de manera similar a: θ<1θ=0.5ingrese la descripción de la imagen aquí

El gráfico es similar a los gráficos para el caso de que . El equilibrio en estado estacionario aún es globalmente estable.θ1

No puedo encontrar un caso donde , pero el equilibrio en estado estacionario no es globalmente estable. Parece que 1θ<1paraα(0,1)determina la forma de la ecuación (1), lo que hace que el equilibrio en estado estable sea globalmente estable. Sería bueno si alguien pudiera mostrarme un contraejemplo dondeθ<1, pero el equilibrio en estado estacionario no es globalmente estable. Sería mejor si alguien pudiera mostrarme cómo probar la proposición 9.4 formalmente.1α>1α(0,1)θ<1

Reconocimiento: los gráficos se modifican de los generados por Wolframalpha.

Editar (19 de abril de 2017) : Caso : Tenga en cuenta que cuando el libro de texto deriva (9.17), supone implícitamente que θ 0 (para la derivación de la ecuación de Euler para el consumo en P.333 de la edición de 2009 del libro de texto). Cuando θ = 0 , la ecuación (1) ya no se aplica. Volviendo al problema de maximización de la utilidad con θ = 0 :θ=0θ0θ=0θ=0

max U(t)=c1(t)+β(c2(t+1)) such that c1(t)+c2(t+1)R(t+1)=w(t)max U(t)=c1(t)+β(w(t)c1(t))R(t+1)=c1(t)(1βR(t+1))+βR(t+1)w(t) ...Should treat R(t+1) as given as consumer's own optimization problem

s (t) tiene que ser no negativo para k (t + 1) no es negativo. c1(t)={ w ( t ) , para  β R ( t + 1 ) < 1 [ 0 , w ( t ) ] , para  β R ( t + 1 ) = 1 0 , para  β R ( t + 1 ) > 1 s(tk(t+1)=s(t)1+n

c1(t)={w(t), for βR(t+1)<1[0,w(t)], for βR(t+1)=10, for βR(t+1)>1
para
s(t)={0, for βR(t+1)<1w(t)c1(t)[0,w(t)], for βR(t+1)=1w(t), for βR(t+1)>1
, k ( t + 1 ) = s ( t )R(t+1)=f(k(t+1))=αk(t+1)α1
k(t+1)=s(t)1+n={0, for βR(t+1)<1k(t+1)<(αβ)11αw(t)c1(t)1+n[0,w(t)1+n], for βR(t+1)=1k(t+1)=(αβ)11αw(t)1+n=k(t)αk(t)αk(t)α11+n=1α1+nk(t)α, otherwisek(t)>[1+n1α(αβ)11α]1α

Casos:
Caso 1: βR(t+1)<1R(t+1)<1βf(k)limk(t)0f(k(t))=f(k(t))=R(t)limk(t)0R(t)<R(t)<1β<β(0,1)

βR(t+1)=1βαk(t+1)α1=1k(t+1)α1=1αβk(t+1)1α=αβS(t)=s(t)w(t)k(t+1)=s(t)1+n=S(t)w(t)1+n=S(t)(1α)k(t)α1+nk=S(1α)kα1+nS=1+n1αk1α=1+n1ααβS>1(1+n)αβ>1αβ>1αα(1+n)

βR(t+1)>1

k(t+1)=1α1+nk(t)α
ingrese la descripción de la imagen aquí
k(t+1)=1α1+nk(t)α0<α<1k=1α1+nkαk=[1α1+n]11α
Chris Cheung
fuente

Respuestas:

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En p. 334 del libro (edición de 2009), leí:

kθ>0

θ1

θ=0

θ=0

c2=0c1=0

maxU=c1(t)+βR(t+1)[w(t)c1(t)]s.t.0c1(t)<w(t)

Entonces el lagrangiano es

Λ=c1(t)+βR(t+1)[w(t)c1(t)]+λc1(t)

y el foc es

1βR(t+1)+λ0,(1βR(t+1)+λ)c1(t)=0

Ignoraré los problemas de las condiciones de segundo orden por un máximo.

c1(t)>0λ=01=βR(t+1)

1=βak(t+1)a1k(t+1)=(aβ)1/(1a)

k(0)>0

c1(t)=0λ>01βR(t+1)+λ0βR(t+1)>1

βak(t+1)a1>1k(t+1)<(aβ)1/(1a)

k(0)

k(0)>0

Alecos Papadopoulos
fuente
θ=0k(t)=[1+n1αk(t+1)]1α
θ=0
max U(t)=c1(t)+β(w(t)c1(t))R(t+1)=w(t)s(t)+αβ(1+n)α1s(t)α
s(t)s(t)=(1+n)(α2β)11αk(t+1)=s(t)1+n=(α2β)11α ,a constantk=(α2β)11αk
θ=0
θ=0θ=0θ=0