Estabilidad del equilibrio en estado estacionario para el modelo de generación superpuesto

De la Introducción de Daron Acemoglu al crecimiento económico moderno, la propuesta 9.4 es que

En el modelo de generaciones superpuestas con hogares de dos períodos, tecnología Cobb-Douglas y preferencias CRRA, existe un equilibrio único de estado estacionario con la relación capital-trabajo k * dada por (9.15) y siempre que $\theta \geq 1$ , Este equilibrio en estado estacionario es globalmente estable para todo k (0)> 0.

donde (9.15) es:

$$(1+n)[1+\beta^{-\frac{1}{\theta}}(\alpha(k^*)^{\alpha-1})^{\frac{\theta-1}{\theta}}] = (1-\alpha)(k^*)^{\alpha - 1}$$

Mi pregunta es ¿por qué $\theta$ tiene que ser mayor o igual que 1 para que el equilibrio en estado estable sea globalmente estable?

Como el libro de texto deriva en (9.17):

$$k(t+1)=\frac{(1-\alpha)k(t)^\alpha}{(1+n)[1+\beta^{-\frac{1}{\theta}}(\alpha k(t+1)^{\alpha-1})^{\frac{\theta-1}{\theta}}]}$$

Podemos reorganizar para obtener:

$$\begin{align} k(t)&=\big[ \frac{1+n}{1-\alpha} [k(t+1)+\beta^{-\frac{1}{\theta}}\alpha^{\frac{\theta-1}{\theta}}k(t+1)^{(\alpha-1)(1-\frac{1}{\theta})+1}] \big]^\frac{1}{\alpha} \text{ .....(1)} \end{align}$$

Sea , α = 0.25 , β = 0.75 .$n = 0.01$$\alpha = 0.25$$\beta = 0.75$

Si , podemos trazar el gráfico: $\theta = 1$

La línea azul es la ecuación (1) donde y la línea roja es la línea de 45 grados. Se puede ver que para todo k> 0, k convergerá al estado estacionario k *. El equilibrio en estado estacionario es globalmente estable.$\theta = 1$

El caso es similar para , en el que el equilibrio en estado estacionario es globalmente estable.$\theta > 1$

Si , como θ = 0.5 , podemos trazar el gráfico de manera similar a: $\theta < 1$$\theta = 0.5$

El gráfico es similar a los gráficos para el caso de que . El equilibrio en estado estacionario aún es globalmente estable.$\theta \geq 1$

No puedo encontrar un caso donde , pero el equilibrio en estado estacionario no es globalmente estable. Parece que $\theta < 1$paraα∈(0,1)determina la forma de la ecuación (1), lo que hace que el equilibrio en estado estable sea globalmente estable. Sería bueno si alguien pudiera mostrarme un contraejemplo dondeθ<1, pero el equilibrio en estado estacionario no es globalmente estable. Sería mejor si alguien pudiera mostrarme cómo probar la proposición 9.4 formalmente.$\frac{1}{\alpha} > 1$$\alpha \in (0,1)$$\theta < 1$

Reconocimiento: los gráficos se modifican de los generados por Wolframalpha.

Editar (19 de abril de 2017) : Caso : Tenga en cuenta que cuando el libro de texto deriva (9.17), supone implícitamente que θ ≠ 0 (para la derivación de la ecuación de Euler para el consumo en P.333 de la edición de 2009 del libro de texto). Cuando θ = 0 , la ecuación (1) ya no se aplica. Volviendo al problema de maximización de la utilidad con θ = 0 :$\theta = 0$$\theta \neq 0$$\theta = 0$$\theta = 0$

$$\text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(c_2(t+1)) \text{ such that } c_1(t) + \frac{c_2(t+1)}{R(t+1)} = w(t) \\ \Leftrightarrow \text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(w(t) - c_1(t))R(t+1) = c_1(t) (1 - \beta R(t+1)) + \beta R(t+1)w(t) \\ \text{ ...Should treat R(t+1) as given as consumer's own optimization problem}$$

s (t) tiene que ser no negativo para k (t + 1) no es negativo. c1(t)∗={ w ( t ) , para  β R ( t + 1 ) < 1 [ 0 , w ( t ) ] , para  β R ( t + 1 ) = 1 0 , para  β R ( t + 1 ) > 1 s($k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n}$

$$c_1(t)^* = \begin{cases} w(t)\text{, for }\beta R(t+1) <1 \\ [0, w(t)]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \\ 0\text{, for }\beta R(t+1) > 1 \\ \end{cases}$$ para $$s(t)^* = \begin{cases} 0\text{, for }\beta R(t+1) <1 \\ w(t) - c_1(t)^* \in [0, w(t)]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \\ w(t)\text{, for }\beta R(t+1) > 1 \\ \end{cases}$$ , k ( t + 1 ) = s ( t $R(t+1) = f'(k(t+1)) = \alpha k(t+1)^{\alpha - 1}$ $$k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = \begin{cases} 0\text{, for }\beta R(t+1) <1 \Leftrightarrow k(t+1) < (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}} \\ \frac{w(t) - c_1(t)}{1+n} \in [0, \frac{w(t)}{1+n}]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \Leftrightarrow k(t+1) = (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}\\ \frac{w(t)}{1+n} = \frac{k(t)^\alpha - k(t)\alpha k(t)^{\alpha -1}}{1+n} = \frac{1-\alpha}{1+n}k(t)^\alpha\text{, otherwise} \Leftrightarrow k(t) > [\frac{1+n}{1 - \alpha} (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}]^{\frac{1}{\alpha}} \\ \end{cases}$$

Casos:
Caso 1: $\beta R(t+1) < 1 \Leftrightarrow R(t+1) < \frac{1}{\beta}$$f(k)$$lim_{k(t) \to 0} f'(k(t)) = \infty$$f'(k(t)) = R(t)$$lim_{k(t) \to 0} R(t) < \infty$$R(t) < \frac{1}{\beta} < \infty$$\beta \in (0,1)$

$\beta R(t+1) = 1 \Leftrightarrow \beta \alpha k(t+1)^{\alpha-1} = 1 \Leftrightarrow k(t+1)^{\alpha-1} = \frac{1}{\alpha \beta} \Leftrightarrow k(t+1)^{1-\alpha} = \alpha \beta$$\mathcal{S}(t) = \frac{s(t)}{w(t)}$$k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = \frac{\mathcal{S}(t)w(t)}{1+n} = \frac{\mathcal{S}(t)(1-\alpha)k(t)^\alpha}{1+n}$$k^* = \frac{\mathcal{S}^*(1-\alpha){k^*}^\alpha}{1+n}$$\mathcal{S}^* = \frac{1+n}{1-\alpha}{k^*}^{1-\alpha} = \frac{1+n}{1-\alpha} \alpha \beta$$\mathcal{S}^* > 1 \Leftrightarrow (1+n)\alpha\beta > 1 - \alpha \Leftrightarrow \beta > \frac{1 - \alpha}{\alpha (1+n)}$

$\beta R(t+1) > 1$

$$k(t+1) = \frac{1-\alpha}{1+n} k(t)^\alpha$$
$k(t+1) = \frac{1-\alpha}{1+n} k(t)^\alpha$$0 < \alpha < 1$$k^* = \frac{1-\alpha}{1+n} {k^*}^\alpha \Leftrightarrow k^* = [\frac{1-\alpha}{1+n}]^{\frac{1}{1-\alpha}}$

En p. 334 del libro (edición de 2009), leí:

$k^*$$\theta >0$

$\theta \geq 1$

$\theta =0$

$\theta=0$

$c_2=0$$c_1=0$

$$\max U = c_1(t) + \beta R(t+1)[w(t)-c_1(t)]\;\;\; s.t.\;\; 0\leq c_1(t) < w(t)$$

Entonces el lagrangiano es

$$\Lambda = c_1(t) + \beta R(t+1)[w(t)-c_1(t)] + \lambda c_1(t)$$

y el foc es

$$1 - \beta R(t+1) +\lambda \leq 0,\;\;\;\; (1 - \beta R(t+1) +\lambda)\cdot c_1(t) = 0$$

Ignoraré los problemas de las condiciones de segundo orden por un máximo.

$$c_1^*(t) >0 \implies \lambda=0 \implies 1 = \beta R(t+1)$$

$$\implies 1 = \beta ak(t+1)^{a-1} \implies k(t+1) = (a\beta)^{1/(1-a)}$$

$k(0) >0$

$$c_1^*(t) =0 \implies \lambda>0 \implies 1 - \beta R(t+1) +\lambda \leq 0 \implies \beta R(t+1) > 1$$

$$\implies \beta ak(t+1)^{a-1} >1 \implies k(t+1) < (a\beta) ^{1/(1-a)}$$

$k(0)$

$k(0)>0$