Controlar el nivel de horas trabajadas en la formulación multiplicativa de KPR

Las preferencias de KPR son generalmente dadas por

$$\frac{c^{1-\sigma}}{1-\sigma} \cdot v(l)$$

con siendo ocio. Centrémonos en el caso donde σ ∈ ( 0 , 1 ) , donde sabemos que v ( l ) debe ser creciente y cóncava. Deje que el tiempo total sea T , y denote n por horas de trabajo. El problema estándar entonces es$l$$\sigma \in (0, 1)$$v(l)$$T$$n$

$$\max_{n\in[0, T]} \frac{(wn)^{1-\sigma}}{1-\sigma} \cdot v(T-n)$$

Una solución interior requiere

$$v(T-n) = v'(T-n)\frac{n}{1-\sigma} \tag 1$$

Una función creciente y cóncava sería , . Esto produce γ∈(0,1$v(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}$$\gamma \in (0, 1)$

$$\frac{T-n}{1-\gamma} = \frac{n}{1-\sigma}$$

o

$$n = (1-\sigma)\frac{T}{1 - \gamma + 1 - \sigma}$$

Ahora, en general, deberíamos poder elegir el nivel de horas de trabajo, para cada nivel de IES ( ). Así que arreglemos , el caso de neutralidad de riesgo, y rendimosσ = $\sigma$$\sigma = 0$

$$n = \frac{T}{2 - \gamma} \tag 2$$

Como , eso significa que no tenemos un control total sobre el nivel de horas de trabajo: no podemos obtener que n < 0.5 sea ​​una opción óptima con estas preferencias.$\gamma \in (0, 1)$$n<0.5$

Tenga en cuenta que un factor constante en tampoco ayudaría, que simplemente se abandonaría en (1). ¿Qué me estoy perdiendo? ¿Cómo puedo controlar mejor el nivel de horas de trabajo en la configuración multiplicativa de KPR? Es decir, donde U = U ( c , v ( l ) ) y no U = log c + g ( v ( l ) ) .$v(l)$$U = U(c, v(l))$$U = \log c + g(v(l))$

Continuando con mi comentario, si ambos parámetros se establecen estrictamente más altos que la unidad, entonces podemos obtener todo el rango, indicativamente:

$(0,1)$

Esta no será la primera vez cuando una forma funcional matemática tiene algunas restricciones inherentes que no le permiten reflejar todo el espectro del posible comportamiento humano.