En la viñeta Ms. Exponential vs Ms. Hyperbolic

Me he encontrado con esta pequeña parábola que pretende mostrar por qué el descuento exponencial es superior al descuento hiperbólico ¹ :

La mayor inclinación [de la curva de descuento hiperbólico] significa que si un descuento hiperbólico se dedicara a comerciar con alguien que usara una curva exponencial, pronto sería liberada de su dinero. La Sra. Exponential podría comprar el abrigo de invierno de la Sra. Hyperbolic a bajo precio cada primavera, por ejemplo, porque la distancia hasta el próximo invierno deprimiría la valoración de la Sra. H más que la de la Sra. E. Luego, la Sra. E podría vender el abrigo a la Sra. H cada otoño cuando la llegada del invierno enviara la valoración de la Sra. H a un alto pico.

La figura a la que se refiere el extracto se parece un poco a la que se muestra a continuación, la diferencia más notable es que he agregado la leyenda para indicar qué curva es qué ² , junto con la forma analítica de las funciones de descuento reales utilizadas ³ .

Pero me parece que el argumento, como se presentó anteriormente, es falso. Está claro que cuya valoración sería más deprimida, depende del tiempo. Por lo tanto, el mismo argumento exacto con los roles de la Sra. E y la Sra. H invertidos funcionaría para cualquier punto de tiempo entre el punto en el que las curvas se cruzan y el eje vertical.

De hecho, para ciertas elecciones de coeficientes para las curvas hiperbólicas y exponenciales, la curva exponencial está más deprimida que la hiperbólica para todos los puntos de tiempo . Por ejemplo:

Resulta que la curva exponencial verde anterior se cruza con la curva hiperbólica en un solo valor de , es decir, (es decir, en el momento indicado por el eje vertical). Para todo , la curva exponencial verde está estrictamente por debajo de la hiperbólica.$t$$t = 0$$t < 0$

Esto significa que, si la curva de descuento exponencial de la Sra. E fuera la verde, entonces la Sra. H sería capaz de desprestigiarla rápidamente aplicando la estrategia descrita en el extracto, y esto sería cierto independientemente de la duración del intervalo de tiempo entre la compra y la venta del abrigo de invierno .

En resumen, el argumento del extracto a favor de la superioridad del descuento exponencial sobre el descuento hiperbólico no es válido, en mi opinión.

Ahora, me doy cuenta de que el extracto no es particularmente riguroso, y que puede haber una forma más convincente de demostrar la superioridad del descuento exponencial sobre el descuento hiperbólico. Si es así, ¿qué es? En particular, quiero saber lo siguiente:

¿Cómo puede alguien que usa descuentos exponenciales tomar ventaja financiera unilateralmente de alguien que usa descuentos hiperbólicos?

(Por unilateral me refiero a que la estrategia está disponible solo para alguien que usa descuentos exponenciales frente a alguien que usa descuentos hiperbólicos, y no al revés).

^{1 La referencia que tengo para este pasaje es el Desglose de la voluntad (2001) de George Ainslie (pp. 30-31). Sin embargo, no tengo el libro.}

^{2 He agregado las etiquetas "hiperbólico" y "exponencial", de acuerdo con mi interpretación de lo que el autor entiende por "mayor reverencia". No soy hablante nativo de inglés, así que corríjame si esta interpretación es al revés.}

^{3 Tenga en cuenta que todas estas funciones tienen como sus dominios. Esta elección fue necesaria para que coincida con la apariencia de las curvas originales. Además, debo destacar que las formas funcionales que utilicé para todas estas curvas son mi propio, elegido para aproximar la apariencia de las curvas originales. El texto del extracto no da la forma funcional de las curvas representadas.$(-\infty, 0]$}

Creo que la bomba de dinero funciona así:

$T=0$$t$$1$$T=\epsilon$$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$$100 + \psi_1$$\psi_1$$\frac{1}{1-\epsilon}$$T = 2 \epsilon$$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$$1 + \psi_2$$\psi_2$

$\geq$

$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$