Se sabe que el ciclo hamiltoniano (jamón para abreviar) tiene NP completo y que el ciclo de jamón planar tiene NP completo. La prueba para Planar Ham Cycle no es de Ham Cycle.
¿Hay un buen dispositivo que, dado un gráfico G, reemplazará todos los cruces con algún dispositivo plano para que tenga un gráfico plano G 'tal que
G tiene un ciclo de jamón si G 'tiene un ciclo de jamón.
(Estaré contento con variantes, como Ham Path o Ham Cycle dirigido o Directed Ham Path).
cc.complexity-theory
np-hardness
planar-graphs
hamiltonian-paths
Bill GASARCH
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Respuestas:
No. Al menos, no hay un dispositivo "agradable" para un crossover.
Sea y ( x , y ) una cruz que queremos reemplazar.(a,b) (x,y)
Hay muchos casos para nuestro gráfico, , pero tenemos que satisfacer al menos los siguientes cuatro. Caso 1: hay al menos un ciclo hamiltoniano, pero ninguno usa ninguno de los bordes. Caso 2: hay al menos un ciclo, y todos los ciclos usan exactamente uno de los dos bordes. Caso 3: hay al menos un ciclo, y todos los ciclos usan ambos bordes. Caso 4: no hay ciclo hamiltoniano.G
Si nuestro dispositivo tiene dos (o más) vértices para cada uno de adyacentes a todos los mismos vecinos (de modo que un 0 y un 1 retengan a los vecinos de a), entonces G ' no será necesariamente plano. Para satisfacer el primero de nuestros casos anteriores, no podemos tener vértices nuevos en el gadget.a,b,x,y a0 a1 a G′
Para satisfacer el caso 3 anterior, debemos tener al menos dos bordes en el gadget. Ni el par plano y de cobertura, ni ( a , y ) , ( x , b ) satisfacen el caso 2, por lo que necesitamos un tercer borde. Sin pérdida de generalidad, que esos tres sean ( a , y ) , ( y , b ) , ( x , b ) .(a,x),(y,b) (a,y),(x,b) (a,y),(y,b),(x,b)
Sin embargo, ese reemplazo rompe el cuarto caso, porque podría contener un ciclo hamiltoniano cuando G no lo hace. Tomemos, por ejemplo, G = ( V , E ) donde V = { a , b , x , y , p , q , r , s , t } , y E = { ( a , b ) , ( x , y )G′ G G=(V,E) V={a,b,x,y,p,q,r,s,t}, . G no es plano y no tiene un ciclo hamiltoniano.E={(a,b),(x,y),(a,r),(a,p),(a,q),(b,s),(b,x),(p,s),(p,t),(p,y),(q,x),(r,y),(t,x)} G
Dado que agregar tres bordes rompe el caso 4, agregar más no ayudará.
(Nota: ¡avíseme si cometí algún error arriba!)
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Nota 2: tuve algunas buenas figuras, pero no puedo publicarlas.Publicado).fuente