¿Qué se sabe sobre las pruebas interactivas multiproveedor con mensajes cortos?

Beigi, Shor y Watrous tienen un muy buen artículo sobre el poder de las pruebas cuánticas interactivas con mensajes cortos. Consideran tres variantes de 'mensajes cortos', y la específica que me interesa es su segunda variante donde se puede enviar cualquier número de mensajes, pero la longitud total del mensaje debe ser logarítmica. En particular, muestran que tales sistemas de prueba interactivos tienen el poder expresivo de BQP.

Lo que quiero saber es si hay resultados análogos para la configuración multiprover, ya sea para verificadores clásicos o cuánticos. ¿Se conocen resultados de complejidad no triviales para las pruebas interactivas de varios probadores donde la longitud total de todos los mensajes está restringida a ser logarítmica en el tamaño del problema?

Caso completamente clásico (MIP)

Si el verificador es clásico y no hay enredos previos entre los probadores, su clase contiene BPP∪NP y está contenida en MA .

Es trivial que BPP sea un límite inferior. Para mostrar que la clase contiene NP, considere el sistema estándar de prueba interactiva de una ronda de dos probadores para la capacidad de 3 coloraciones con una integridad perfecta y un error de solidez 1−1 / poli. Si desea reducir el error de solidez a una constante, combine esto con el teorema de PCP.

En cuanto al límite superior, se cumple la siguiente declaración más fuerte: MIP con la restricción de que la longitud total del mensaje del verificador a cada probador es O (log n ) es igual a MA. Esto se debe a que una estrategia de cada probador puede describirse mediante una cadena de longitud polinómica.

Curiosamente, existe otro límite superior cuando el sistema tiene una integridad perfecta. A saber, los sistemas de prueba interactivos multiproveedor con integridad completa con comunicación total O (log n ) -bit reconocen a lo sumo P ^{NP [log]} , y esto se cumple incluso si permitimos un error de sonido ilimitado. Para probar esto en el caso de dos probadores, supongamos que x _s es la concatenación de todas las respuestas dadas por el primer probador cuando la concatenación de todas las preguntas al primer probador es s , y defina y _{t de manera} análoga para el segundo probador. Para ser aceptado por el verificador con certeza, estas variables x _s y y _tdebe satisfacer ciertas restricciones, y tenga en cuenta que este es un 2CSP. Hay como máximo opciones poli ( n ) para tuplas ( s , t , x _s , y _t ), y para cada opción, podemos usar el oráculo NP para probar si el verificador rechaza esa tupla. Por lo tanto, con el oráculo NP, podemos enumerar todas las restricciones sobre las variables x _s y y _ten tiempo polinomial. Finalmente, usamos el oráculo NP una vez más para probar si hay una asignación a estas variables que satisfaga todas las restricciones. Aunque este algoritmo usa el oráculo NP polinomialmente muchas veces, todas las consultas, excepto la última, se pueden hacer en paralelo y, por lo tanto, esto se puede convertir en un algoritmo P ^{NP [log]} . El caso de más de dos probadores es análogo.

Este límite superior implica que, aunque cada sistema MA se puede convertir en uno con una integridad perfecta, no podemos esperar un sistema de prueba interactivo multiproverificador con una integridad perfecta con comunicación O (log n ) -bit a menos que MA⊆P ^{NP [log]} . No sé cuán improbable es la inclusión de MA⊆P ^{NP [log]} , pero solo noto que Complexity Zoology afirma que hay un oráculo en relación con el cual BPP⊈ P ^NP (y, por lo tanto, claramente MA⊈P ^{NP [log]} ).

(En el caso del probador único, el Teorema 2 de Goldreich y Håstad [GH98] implica que la IP con la longitud total del mensaje O (log n ) bits es igual a BPP).

Añadido . Una caracterización necesaria y suficiente es la siguiente.

Para explicar esta caracterización, necesitamos una variante de la noción de reducibilidad de Karp (reducibilidad polinómica en tiempo múltiple). Para dos problemas de decisión A y B , digamos que A es FP ^BPP -reducible a B (lo sé, este es un nombre horrible) cuando hay una máquina de Turing de tiempo polinomial determinista M con acceso al oráculo de BPP que mapea sí- instancias a sí-instancias y no-instancias a no-instancias, donde permitimos el acceso al oráculo "no inteligente" (lo que significa que Mpuede hacer una consulta al oráculo de BPP sobre una instancia que no cumple con la promesa del problema de BPP, en cuyo caso, oracle devuelve sí o no arbitrariamente). Entonces se puede demostrar que las siguientes condiciones en un problema A son equivalentes.

(i) A tiene un sistema de prueba interactivo multiproveedor con comunicación O (log n ) -bit y error acotado de dos lados.
(ii) A tiene un sistema de prueba interactivo de una ronda de dos probadores con comunicación O (log n ) -bit, error de completitud exponencialmente pequeño y error de solidez constante.
(iii) A es FP ^BPP -reducible a un problema en NP.

(Idea de prueba: Implicación (ii) ⇒ (i) es trivial. La implicación (i) ⇒ (iii) se puede obtener de manera similar a la prueba anterior en el caso de un error unilateral. Implicación (iii) ⇒ (ii ) se desprende del teorema de PCP porque la clase de problemas que satisfacen la condición (ii) está cerrada bajo FP- ^BPP- reducibilidad).

Verificador clásico con probadores enredados (MIP *)

Luego considere el caso con un verificador clásico y probadores enredados. En este caso, la clase con error acotado nuevamente contiene BPP∪NP.

Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner y Vidick [KKMTV11] muestran que cada problema en NP tiene un sistema de prueba interactiva de una ronda de tres probadores con un error de integridad y solidez perfecto 1−1 / poly donde la longitud total de los mensajes es O ( log n ) bits, y la solidez se mantiene contra los probadores enredados. Por lo tanto, MIP * con longitud total de mensaje O (log n ) bits y error limitado contiene NP. Un resultado posterior de Ito, Kobayashi y Matsumoto [IKM09] (conector descarado) reduce el número de probadores de tres a dos. El caso de la solidez constante está abierto en la parte superior de mi conocimiento.

No se sabe si MIP * con longitud total de mensaje O (log n ) bits está contenido en la clase R de problemas decidibles o no, y esta pregunta es equivalente a si MIP * ⊆R (otro problema abierto) por el argumento de relleno.

Referencias

[GH98] Oded Goldreich y Johan Håstad. Sobre la complejidad de las pruebas interactivas con comunicación limitada. Cartas de procesamiento de información , 67 (4): 205–214, agosto de 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1

[IKM09] Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi y Keiji Matsumoto. Oracularización y pruebas interactivas de una ronda de dos probadores contra estrategias no locales. Actas: Vigésima Cuarta Conferencia Anual IEEE sobre Complejidad Computacional (CCC 2009) , 217–228, julio de 2009. http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22

[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner y Thomas Vidick. Los juegos enredados son difíciles de aproximar. SIAM Journal on Computing , 40 (3): 848–877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293