Transición de caminatas aleatorias cuánticas a clásicas en la línea

Versión rápida

¿Existen modelos de la decoherencia cuántica para la caminata en la línea de tal manera que podemos sintonizar el pie de propagación como para cualquier 1 / 2 ≤ k ≤ 1 ?$\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$

Motivación

Las caminatas aleatorias clásicas son útiles en el diseño de algoritmos, y las caminatas aleatorias cuánticas han demostrado ser útiles para crear una serie de algoritmos cuánticos geniales (a veces con aceleraciones exponenciales demostrables ). Por lo tanto, es importante comprender la diferencia entre caminatas aleatorias cuánticas y clásicas. A veces, la forma más fácil de hacer esto es considerar modelos de juguetes, como caminar en la línea.

También hay una motivación física: es interesante saber cómo la mecánica cuántica escala a mecánica clásica. Pero esto no es muy relevante para la teoría.

Mi motivación personal es completamente ortogonal: estoy tratando de hacer coincidir algunos datos experimentales con un modelo que transita suavemente de lo cuántico a lo clásico y es relativamente intuitivo.

Antecedentes

Al considerar cuántica y paseos clásicos sobre la línea número entero, una diferencia clave es que la desviación estándar (de la distribución de posición) del paseo cuántico va como y los clásicos como Θ ( t 1 / 2 ) , donde t es el número de pasos para un modelo discreto, o tiempo en un modelo continuo. Tenga en cuenta que esto no está restringido a la línea, y para muchos gráficos verá una relación cuadrática similar entre el tiempo de mezcla cuántico y clásico, considero el caso restringido de la línea ya que creo que es más fácil de analizar.$\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

A medida que introducimos la decoherencia en una caminata cuántica (ya sea por medición o ruido), la caminata comienza a comportarse de manera más clásica. De hecho, para la mayoría de las mediciones, acabamos de terminar con un paseo clásico que se propaga como Si se ve desde la escala de tiempo correcto. Para otras formas de decoherence (tales como de desfase la moneda, o la introducción de imperfecciones en la línea) hay generalmente un umbral agudo debajo del cual el pie se comporta cuánticamente (propagación como Θ ( t ) ) y por encima del cual los pie empieza a ser clásica (diseminación como Θ ( t 1 / 2$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$) De hecho, esta escala incluso se ha sugerido como la definición de una caminata cuántica.

Versión larga de la pregunta

¿Hay modelos de decoherence para un paseo aleatorio en la línea, tal que a medida que variar la cantidad de decoherence podemos lograr una desviación estándar en la posición que las escalas como para cualquier 1 / 2 ≤ k ≤ 1 ? Alternativamente, para otros gráficos con una brecha en el tiempo de mezcla o golpe, ¿hay formas de decoherencia para que podamos tener la mezcla / golpe / desviación estándar que va como f ( t ) para cualquier f ∈ Σ ( g ( t ) ) y f ∈ O ( $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$ donde g ( t ) es la mezcla / golpe clásico / STD y h ( t ) es el cuanto puro. Si esto no es posible, ¿hay alguna razón más profunda por la que vemos este tipo de comportamiento de uno u otro?$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

$t$$t^{\frac{1}{2}}$

$t$$t^2$$t^{\frac{1}{2}}$$t$

Sin embargo, sucede exactamente lo mismo en la metrología cuántica cuando se introduce ruido, pero puede superarse para producir una escala intermedia (véase, por ejemplo, JA Jones et al, Science, 324, 5931 (2009), arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 , etc.) Una forma de lograr esto es haciendo mediciones intermedias.

$T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$$\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$$n\propto t^k$$T\propto t^{1-k}$$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$