¿Cuál es la siguiente variación en la cubierta del set conocida como?
Dado un conjunto S, una colección C de subconjuntos de S y un entero positivo K, ¿existen K conjuntos en C de manera que cada par de elementos de S se encuentre en uno de los subconjuntos seleccionados?
Nota: No es difícil ver que este problema es NP-Completo: dado un problema de cobertura de conjunto normal (S, C, K), haga tres copias de S, diga S ', S' 'y S' '', luego cree sus subconjuntos como S '' ', | S | subconjuntos de la forma {a '} U {x en S' '| x! = a} U {a '' '}, | S | subconjuntos de la forma {a ''} U {x en S '| x! = a} U {a '' '}, {a', a '' | a en C_i}. Entonces podemos resolver el problema de la cubierta del conjunto con K subconjuntos si podemos resolver el problema de la cubierta del par con K + 1 + 2 | S | subconjuntos.
Esto se generaliza a triples, etc. Me gustaría poder no perder media página probando esto, y probablemente no sea lo suficientemente obvio como para descartarlo como trivial. Ciertamente es suficientemente útil que alguien lo haya probado, pero no tengo idea de quién o dónde.
Además, ¿hay un buen lugar para buscar resultados de NP-Completeness que no estén en Garey y Johnson?
Parece que está generalizando la cobertura del conjunto para considerar no solo los elementos de S, sino todos los subconjuntos de tamaño M de S. Podemos enunciar el problema de manera más general:
"Dado un conjunto S, una colección C de subconjuntos de S y un entero positivo m, ¿cuál es el número más pequeño de elementos de C de manera que cada subconjunto tamaño S de M se encuentre en uno de los elementos seleccionados de C?"
Esto realmente me parece una generalización bastante obvia de la cobertura del set, y no una en la que deba pasar el tiempo probando NP-complete más allá de una sola línea. Después de todo, elegir m = 1 recupera el problema de la cubierta del conjunto original. ¿Quizás esta formulación más general es lo suficientemente buena para sus propósitos como para evitar tener que entrar en detalles?
Su pregunta sobre un conjunto actualizado de resultados de completitud de NP es buena y merece su propia pregunta. Crescenzi y Kann han creado un compendio útil en línea aquí .
En segundo lugar, apenas es generalizado, pero el Manual de diseño de algoritmos de Steven Skiena es a menudo una primera parada útil para una gran cantidad de problemas, y está disponible en línea en parte .
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