El -ésimo polinomio simétrico elemental es la suma de todos los productos de distintas variables. Estoy interesado en la complejidad del circuito aritmético monótono de este polinomio. Un algoritmo de programación dinámica simple (así como la Fig. 1 a continuación) proporciona un circuito con compuertas .
Pregunta: ¿Se conoce un límite inferior de ?
Un circuito está sesgado si al menos una de las dos entradas de cada puerta de producto es una variable. Tal circuito es en realidad lo mismo que la red de conmutación y rectificación (un gráfico acíclico dirigido con algunos bordes etiquetados por variables; cada ruta st proporciona el producto de sus etiquetas, y la salida es la suma de todas las rutas st). Hace ya 40 años, Markov demostró un resultado sorprendentemente ajustado: un circuito de inclinación aritmética monótono mínimo para tiene exactamente puertas de producto. El límite superior se deduce de la Fig. 1:
Pero no he visto ningún intento de probar un límite tan bajo para circuitos no sesgados. ¿Es esta simplemente nuestra "arrogancia", o hay algunas dificultades inherentes observadas en el camino?
PD: Sé que las compuertas son necesarias para calcular simultáneamente todos los . Esto se deduce del límite inferior del tamaño de los circuitos booleanos monótonos que ordenan la entrada 0-1; ver página 158 del libro de Ingo Wegener . La red de clasificación AKS también implica que las compuertas son suficientes en este caso (booleano). En realidad, Baur y Strassen han demostrado ser un estricto en el tamaño del circuito aritmético no monótono para . Pero, ¿qué pasa con los circuitos aritméticos monótonos ?S n 1 , … , S n n O ( n log n ) Θ ( n log n ) S n n / 2