¿Existe un teorema general que establezca, con una desinfección adecuada, que los resultados más conocidos con respecto al uso de números reales se pueden usar cuando se consideran solo reales computables? ¿O hay una caracterización adecuada de los resultados que siguen siendo válidos cuando se consideran solo los reales computables? Una pregunta secundaria es si los resultados relativos a los reales computables se pueden probar sin tener que considerar todos los reales o cualquier cosa que no sea computable. Estoy pensando específicamente en el cálculo y el análisis matemático, pero mi pregunta no se limita de ninguna manera a eso.
En realidad, supongo que hay una jerarquía de reales computables correspondientes a la jerarquía de Turing (¿es eso correcto?). Entonces, más abstractamente, ¿existe una teoría abstracta de lo real (no estoy seguro de cuál debería ser la terminología), para la cual se podrían probar varios resultados, que se aplicarían a los números reales tradicionales, pero también a los reales computables, y a cualquier nivel de la jerarquía de Turing de reales computables, si existe.
Entonces, mi pregunta podría formularse como: ¿Existe una caracterización de los resultados que se aplicarán en la teoría abstracta de los reales cuando se hayan probado para los reales tradicionales? Y, ¿podrían demostrarse estos resultados directamente en la teoría abstracta, sin considerar los reales tradicionales?
También estoy interesado en comprender cómo y cuándo divergen estas teorías de los reales.
PD: No sé dónde encajar esto en mi pregunta. Me di cuenta de que una gran parte de las matemáticas en los reales se han generalizado con la topología. Entonces puede ser que la respuesta a mi pregunta, o parte de ella, se pueda encontrar allí. Pero también puede haber más.