Variante de progresión aritmética multidimensional

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Para , deje que sea ​​el conjunto de vértices del cubo dimensional escalado en la dirección de la coordenada por , es decir, .dNnQ(d)NnnidiQ(d={±d1,,±dn}

Considere el siguiente problema:

Dado un conjunto de puntos en número , ¿el conjunto contiene una progresión aritmética -dimensional de longitud ?Nnknk

Más formalmente,

Entrada:
dado un conjunto finito y un entero positivo . XNnkN+

Pregunta:
¿hay y tal que para todos los enteros ?oNnd(N+)no+Q(id)X0ik

Informalmente, estamos viendo la contención de los vértices de cubos alineados en ejes -dimensionales escalados centrados en .no

¿Este problema tiene un nombre? ¿Cuál es su complejidad? ¿Podemos resolverlo usando programación dinámica?

Marzio De Biasi
fuente
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Tenemos a este experto para demostrar la integridad de NP aquí en cstheory. SE: debe preguntarle. Se llama Marzio ... oh, espera.
Suresh Venkat
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@SureshVenkat: ya le pregunté, pero parece que está un poco "fuera de servicio" en estas semanas :-)
Marzio De Biasi
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¿Por qué no funciona el siguiente algoritmo trivial: enumerar sobre todas las opciones , y para cada enumerar sobre todos y todos los puntos en , dejar de fumar y pasar al siguiente tan pronto como algunos se encontró que no pertenece a . Hayopciones para , y para cada uno enumeramos como máximo puntos, por lo que este es un algoritmo de tiempo cuadrático. ¿Quizás tenga en mente alguna que se especifica implícitamente? a0Xa0iQi(a0)a0aQi(a0)X|X|a0|X|+1X
Sasho Nikolov
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@SashoNikolov: tienes razón, si se da explícitamente (y los lados de la caja están alineados en el eje) la solución es trivial. ¡Puedes convertir tu comentario en una respuesta y lo aceptaré! X
Marzio De Biasi
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@ Sasho: es suficiente verificar cada distancia entre dos vértices de , por lo tanto, como máximo , polinomio en la entrada. a Marzio: si es sucinto, ¿cuál es la situación para ? Tal vez eso sería hacernos comprender lo que está pidiendo ...| X | 2 X n = 1X|X|2Xn=1
domotorp

Respuestas:

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El libro Additive Combinatorics de Terence Tao y Van Vu discuten en profundidad las secuencias aritméticas desde un punto de vista matemático. Ellos establecen la existencia de secuencias aritméticas en diversas condiciones de su aparato de .X


Ejemplo : Teorema de Szemeredi

Si un subconjunto de "densidad" positiva en su red tiene infinitas progresiones aritméticas de longitud arbitraria.

density(E)=lim supN|E[1,N]|N0

Sea un conjunto de densidad superior positiva, entonces tiene una progresión aritmética -term no trivial .ENEk


Podrías imaginar totalmente buscando vectores dispuestos en varios patrones en lugar de restringir tu atención a .Z

El libro simplifica el análisis y la probabilidad muy técnicos de Fourier y lo reemplaza con una teoría y probabilidad menos técnicas de Fourier. 😐 Desglosan las matemáticas pesadas en lemas y teoremas que son útiles para problemas más específicos. 😃


Ejemplo Considere un conjunto aleatoriocon probabilidad. Cualquier 3 espaciados uniformemente números elementosserá elegido dentro decon una probabilidad, así que podemos esperar muchos progresiones aritméticas en el conjunto aleatorio.E[1,N]P[kE]=12a,a+d,a+2dNE18E

En el otro extremo está usando la función de piso . Esto es lo más "ordenado" que puede obtener, y también tendrá muchas progresiones aritméticas de longitud arbitraria.{[n7]:nZ}={[0,2,5,7,10,13,15,18,21,23,}


Entonces dependería de usted considerar los aspectos de tiempo de ejecución de los algoritmos que implican. Puede que no sea necesariamente fácil encontrar secuencias aritméticas en los números libres primos o cuadrados, incluso si sabemos que existen.

john mangual
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