Para , deje que sea el conjunto de vértices del cubo dimensional escalado en la dirección de la coordenada por , es decir, .
Considere el siguiente problema:
Dado un conjunto de puntos en número , ¿el conjunto contiene una progresión aritmética -dimensional de longitud ?
Más formalmente,
Entrada:
dado un conjunto finito y un entero positivo .Pregunta:
¿hay y tal que para todos los enteros ?
Informalmente, estamos viendo la contención de los vértices de cubos alineados en ejes -dimensionales escalados centrados en .
¿Este problema tiene un nombre? ¿Cuál es su complejidad? ¿Podemos resolverlo usando programación dinámica?
Respuestas:
El libro Additive Combinatorics de Terence Tao y Van Vu discuten en profundidad las secuencias aritméticas desde un punto de vista matemático. Ellos establecen la existencia de secuencias aritméticas en diversas condiciones de su aparato de .X
Ejemplo : Teorema de Szemeredi
Si un subconjunto de "densidad" positiva en su red tiene infinitas progresiones aritméticas de longitud arbitraria.
Sea un conjunto de densidad superior positiva, entonces tiene una progresión aritmética -term no trivial .E⊆N E k
Podrías imaginar totalmente buscando vectores dispuestos en varios patrones en lugar de restringir tu atención a .Z
El libro simplifica el análisis y la probabilidad muy técnicos de Fourier y lo reemplaza con una teoría y probabilidad menos técnicas de Fourier. 😐 Desglosan las matemáticas pesadas en lemas y teoremas que son útiles para problemas más específicos. 😃
Ejemplo Considere un conjunto aleatoriocon probabilidad. Cualquier 3 espaciados uniformemente números elementosserá elegido dentro decon una probabilidad, así que podemos esperar muchos progresiones aritméticas en el conjunto aleatorio.E⊂[1,N] P[k∈E]=12 a,a+d,a+2d∈N E 18 E
En el otro extremo está usando la función de piso . Esto es lo más "ordenado" que puede obtener, y también tendrá muchas progresiones aritméticas de longitud arbitraria.{[n7–√]:n∈Z}={[0,2,5,7,10,13,15,18,21,23,…}
Entonces dependería de usted considerar los aspectos de tiempo de ejecución de los algoritmos que implican. Puede que no sea necesariamente fácil encontrar secuencias aritméticas en los números libres primos o cuadrados, incluso si sabemos que existen.
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