Una propiedad de gráfico se denomina hereditaria si se cierra con respecto a la eliminación de vértices (es decir, todas las subgrafías inducidas heredan la propiedad). Una propiedad gráfica se llama aditiva si se cierra con respecto a tomar uniones disjuntas.
No es difícil encontrar propiedades que sean hereditarias, pero no aditivas. Dos ejemplos simples:
(1) El gráfico está completo.
(2) El gráfico no contiene dos ciclos vértice-disjuntos.
En estos casos, es obvio que la propiedad es heredada por subgrafos inducidos, pero tomando dos gráficos disjuntos que tienen la propiedad, su unión puede no preservarla.
Los dos ejemplos anteriores son propiedades decimables polytime (aunque para (2) es algo menos trivial). Si queremos propiedades más duras, aún podrían crearse siguiendo el patrón de (2), pero reemplazando los ciclos con tipos de gráficos más complicados. Entonces, sin embargo, podemos encontrarnos fácilmente con la situación en la que el problema ni siquiera permanece en , bajo supuestos de complejidad estándar, como . Parece menos trivial encontrar un ejemplo que se mantenga dentro de , pero aún es difícil.N P ≠ c o N P N P
Pregunta: ¿Conoce una propiedad gráfica (preferiblemente natural) de que sea hereditaria, pero no aditiva?
fuente
Respuestas:
Creo que el problema de la cubierta -clique, que pregunta si existe una partición de los vértices en los conjuntos k de manera que cada conjunto induzca una camarilla, tiene las propiedades deseadas.k k
Claramente, tomar subgrafías inducidas no puede aumentar el tamaño mínimo de dicha partición. Por otro lado, cuando tomas la unión disjunta de dos gráficos, debes tomar la unión de la partición en camarillas de cada uno.
fuente
Considera este problema
Sigue siendo NP completo incluso si las propiedades son hereditarias.
Ahora, claramente, una solución del problema anterior para un gráfico también proporciona una solución para los subgrafos inducidos. Pero al tomar la unión de gráficos de la misma familia que G podría no resolverse usando esa solución.
Por ejemplo, la partición de gráficos generales en gráficos de intervalo de unidades disjuntas es NP completa pero al tomar la unión de todos los bordes posibles (completar el gráfico) resuelve el problema trivialmente.
fuente
Si (1) es verdadero, entonces debería responder a su pregunta, ya que le da una propiedad que es hereditaria, pero claramente no es aditiva.
(NOTA AGREGADA: la conjetura (2) es diferente de la "conjetura de la cubierta del ciclo doble" de Szekeres y Seymour, a pesar de la homonimidad).
fuente