En una categoría cartesiana cerrada ( CCC ), existen los llamados objetos exponenciales , escritas . Cuando un CCC es considerado como un modelo de la simplemente-mecanografiada λ -calculus , un objeto exponencial como B A caracteriza el espacio de la función de tipo A a tipo B . Un objeto exponencial es introducido por una flecha llamada c u r r y : ( A × B → C ) → ( A → C B Y eliminado por una flecha llama un p p l y : C B × B → C (que por desgracia llama e v un l en la mayoría de textos sobre teoría de la categoría). Mi pregunta aquí es: ¿hay alguna diferencia entre el objeto exponencial C B y la flecha B → C ?
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Respuestas:
Uno es interno y el otro es externo .
Una categoría consta de objetos y morfismos. Cuando escribimos f : A → B queremos decir que f es un morfismo de un objeto A al objeto B . Podemos recopilar todos los morfismos de A a B en un conjunto de morfismos H o m C ( A , B ) , llamado "conjunto hom". Este conjunto no es un objeto de C , sino un objeto de la categoría de conjuntos.C f:A→B f A B A B HomC(A,B) C
En contraste, una exponencial es un objeto en C . Es cómo " C piensa en sus hom-sets". Por lo tanto, B A debe estar equipado con cualquier estructura los objetos de C tienen.BA C C BA C
Como ejemplo, consideremos la categoría de espacios topológicos. Entonces es un mapa continuo de X a Y , y H o m T o p ( X , Y ) es el conjunto de todos estos mapas continuos. ¡Pero Y X , si existe, es un espacio topológico! Se puede demostrar que los puntos de Y X son (en correspondencia biyectiva con) los mapas continuos de X a Y . De hecho, esto se cumple en general: los morfismos 1 → B Af:X→Y X Y HomTop(X,Y) YX YX X Y 1→BA (que son "los puntos globales de ") están en correspondencia biyectiva con morfismos A → B , porque
H o m ( 1 , B A ) ≅ H o m ( 1 × A , B ) ≅ H o m ( A , B ) .BA A→B
A veces tenemos descuidado acerca de la escritura en lugar de un → B . De hecho, a menudo estos dos son sinónimos, con el entendimiento de que f : A → B podría significar "oh, por cierto, quise decir la otra notación, por lo que esto significa que f es un morfismo de A a B ". Por ejemplo, cuando escribió el curry de morfismo curry : ( A × B → C ) → ( A → C B ) realmente debería haber escrito curry :BA A→B f:A→B f A B
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