Determinación del efecto de la pequeña fuerza variable sobre la precesión del perihelio planetario

¿Existe una técnica analítica para determinar el efecto de una pequeña aceleración transversal variable sobre la tasa de precesión de aspides (estrictamente no una precesión sino rotación de la línea de aspides) de un planeta que orbita alrededor del Sol en un plano 2D según la ley de gravedad newtoniana ?

He modelado tales efectos en un modelo informático reiterativo y me gustaría verificar esas medidas.

La fórmula de aceleración transversal es

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Dónde:-

c es la velocidad de la luz,

K es una constante de magnitud entre 0 y +/- 3, tal que . $K/(c^2) << 1$

Ar es la aceleración del planeta hacia el Sol debido a la influencia gravitacional newtoniana del Sol ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr es un componente radial de la velocidad del planeta en relación con el Sol (+ = movimiento alejado del Sol)

Vt es un componente transversal de la velocidad del planeta en relación con el Sol (+ = dirección del movimiento de avance del planeta a lo largo de su trayectoria orbital). Vectorialmente Vt = V - Vr donde V es el vector de velocidad instantánea total del planeta en relación con el Sol.

Supongamos que la masa del planeta es pequeña en relación con el Sol.

No hay otros cuerpos en el sistema.

Todos los movimientos y aceleraciones se limitan al plano bidimensional de la órbita.

ACTUALIZAR

La razón por la que esto es interesante para mí es que un valor de K = +3 en mi modelo de computadora produce valores de tasa de rotación de periapsis anómalos (no newtonianos) muy cercanos a aproximadamente el 1% de los pronosticados por la Relatividad general y dentro de un pequeño porcentaje de los observados por los astrónomos (Le Verrier, actualizado por Newcomb).

Fórmula (Einstein, 1915) para la rotación de periapsis derivada de GR (radianes por órbita) de http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

ACTUALIZACIÓN 4

He aceptado la respuesta de Walter. No solo respondió la pregunta original (¿Existe una técnica ...?) Sino que también su análisis produce una fórmula que no solo confirma los efectos simulados por computadora de la fórmula de aceleración transversal (para K = 3) sino que también (inesperadamente para mí) es esencialmente equivalente a la fórmula de Einstein 1915.

del Resumen de Walter (en la respuesta de Walter a continuación):

: (del análisis de peturbation de primer orden) el eje semi-mayor y la excentricidad no cambian, pero la dirección de periapsis gira en el plano de la órbita a una velocidad donde es la frecuencia orbital y con eje semi-mayor. Tenga en cuenta que (para ) esto concuerda con la tasa de precesión de la relatividad general (GR) en el orden (dada por Einstein 1915).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit steveOw
fuente

¿Sigues buscando una respuesta?

Walter

@Walter. Sí lo soy. He hecho una pregunta similar en physics.stackexchange.com/questions/123685/… pero aún no se ha recibido una respuesta sólida.

steveOw

@Walter. También pregunté en math.stackexchange.com/questions/866836/… .

steveOw

Sí, existen métodos analíticos aproximados (teoría de la perturbación), válidos en el límite de . Quizás puedas aclarar un poco tu pregunta. ¿Cuál es la dirección de la aceleración transversal? (Entiendo que 'transversal' significa perpendicular a la velocidad instantánea, pero no está claro si la aceleración está en el plano de la órbita o perpendicular o una mezcla).

K ≪ 1

$K\ll1$

Walter

Hay una diferencia entre su pregunta aquí y la de las matemáticas (y la física): aquí la aceleración transversal es proporcional a la aceleración radial y es un número adimensional, allí la aceleración radial no tiene ningún efecto sobre la aceleración transversal y debe ser un aceleración (aunque hables de un 'número').

K

$K$

K

$K$

Walter

Es posible que desee utilizar la teoría de la perturbación . Esto solo le da una respuesta aproximada , pero permite un tratamiento analítico. Su fuerza se considera una pequeña perturbación de la órbita elíptica de Kepler y las ecuaciones resultantes del movimiento se expandió en potencias de . Para la teoría de la perturbación lineal, solo se retienen los términos lineales enEsto simplemente lleva a integrar la perturbación a lo largo de la órbita original no perturbada. Escribiendo su fuerza como un vector, la aceleración perturbadora es con la velocidad radial ( ) y $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ el componente rotacional de la velocidad ( la velocidad completa menos la velocidad radial). Aquí, el punto de arriba denota una derivada del tiempo y un sombrero del vector unitario.

Ahora, depende de lo que quieras decir con ' efecto '. Analicemos los cambios del semimaje orbital eje , excentricidad dirección de periapsis. $a$ $e$

Para resumir los resultados a continuación : el eje semi-mayor y la excentricidad no cambian, pero la dirección de periapsis gira en el plano de la órbita a una velocidad donde es la frecuencia orbital y con eje semi-mayor. Tenga en cuenta que (para ) esto concuerda con la tasa de precesión de la relatividad general (GR) en el orden (dada por Einstein 1915 pero no mencionada en la pregunta original).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

cambio de semieje mayor

De la relación (con la energía orbital) tenemos para el cambio de debido a un externo aceleración (no kepleriana) Insertar (tenga en cuenta que con el vector de momento angular ), obtenemos Dado que el promedio de la órbita para cualquier función (ver más abajo), . $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

cambio de excentricidad

De , encontramos Ya sabemos que , por lo que solo debemos considerar el primer término. Por lo tanto, donde he usado la identidad y el hecho $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . De nuevo y, por lo tanto, .

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

cambio de dirección de periapsis

El vector de excentricidad puntos (desde el centro de gravedad) en la dirección de periapsis, tiene magnitud , y se conserva bajo el movimiento Kepleriano (¡valide todo eso como un ejercicio!). De esta definición encontramos su cambio instantáneo debido a la aceleración externa $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ donde he usado la identidad y el hecho . Los promedios de órbita de estas expresiones se consideran en el apéndice a continuación. Si finalmente ponemos todo junto, obtenemos con [ corregido nuevamente ] Esta es una rotación de periapsis en el plano de la órbita con frecuencia angular. En particular

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ de acuerdo con nuestro hallazgo anterior.

No olvide que debido a nuestro uso de la teoría de perturbación de primer orden, estos resultados solo son estrictamente verdaderos en el límite . En la teoría de perturbaciones de segundo orden, sin embargo, tanto y / o puede cambiar. En sus experimentos numéricos, usted debe encontrar que los cambios de órbita promediada de y son cero o más fuerte que la escala lineal con la amplitud de perturbación . $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

descargo de responsabilidad No hay garantía de que el álgebra sea correcto. ¡Revisalo!

Apéndice: promedios de órbita

Los promedios de órbita de con una función abitraria (pero integrable) se pueden calcular directamente para cualquier tipo de órbita periódica. Sea la antiderivada de , es decir, , entonces el promedio de la órbita es: con el período orbital. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

Para los promedios de órbita requeridos en , debemos profundizar un poco más. Para una órbita elíptica kepleriana con el vector de excentricidad y un vector perpendicular a y . Aquí, es la anomalía excéntrica, que está relacionada con la anomalía media través de modo que $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ y un promedio de órbita se convierte en Tomando la derivada del tiempo (tenga en cuenta que la frecuencia orbital) de , encontramos la velocidad orbital instantánea (no perturbada) donde he introducido , la velocidad de la órbita circular con semieje mayor . A partir de esto, encontramos la velocidad radial

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ y la velocidad de rotación

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

Con estos, hemos [ corregido de nuevo ] en particular, los componentes en la dirección promedian a cero. Por lo tanto [ corregido de nuevo ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

Walter
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