Aceleración gravitacional dentro de un planeta

La aceleración gravitacional, g, dentro de la Tierra generalmente disminuye al disminuir la distancia al centro:

Sin embargo, aparentemente para Júpiter, la aceleración gravitacional solo aumenta al disminuir la distancia a su centro. ¿Por qué es esto?

Puede usar la ley de Gauss para la gravitación para calcular la gravedad en función del radio (interior).

$$\oint \vec{g} \cdot d\vec{A} = -4\pi G \int \rho\ dV\ .$$ Lo que esto significa es que el flujo del campo gravitacional $\vec{g}$ fuera de una superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada dentro de esa superficie.

Supongamos que la densidad es una función del radio (interior), de modo que $\rho = Ar^{\alpha}$ y que el planeta es esféricamente simétrico, de modo que el lado izquierdo se vuelve $4 \pi r^2 g(r)$ y el elemento de volumen $dV = 4\pi r^2\ dr$. Entonces

$$4 \pi r^2 g(r) = -4\pi G \int_{r=0}^{r} Ar^{\alpha} 4\pi r^2\ dr$$ Mientras $\alpha \neq -3$. $$r^2 g(r) = - 4\pi G \frac{Ar^{3+\alpha}}{3+\alpha}$$ $$g(r) = -\frac{4\pi GA }{3+\alpha} r^{1+\alpha}$$ Lo que esto muestra es que si $\alpha < -1$, entonces la gravedad aumentará con la disminución del radio.

Ahora estamos en condiciones de responder su pregunta. En el interior profundo de la tierra$\alpha \simeq 0$y la densidad no aumenta mucho a medida que nos dirigimos hacia el centro. Esto significa que$g(r) \propto r$como se ve en la trama a la que hace referencia. En la parte externa de la corteza$\alpha \simeq -1$ y $g(r)$ Es más o menos constante.

A continuación se muestra un perfil de densidad de modelo para Júpiter (línea continua).

Solo mirando esto, diría que $\alpha$ es solo un poco $<-1$para la mayor parte del interior, por lo que la gravedad debería aumentar lentamente a medida que$r$ disminuye, pero hay un fuerte aumento en la densidad en el límite del núcleo que vería $\alpha \ll -1$ y la gravedad se vuelve proporcional a $r$ a la potencia de un número negativo (es decir, aumentando fuertemente con disminución $r$), pero luego debe caer a$g=0$ cuando $r=0$ Poco después.

La respuesta corta porque Júpiter es un gigante gaseoso, por lo que tiene una atmósfera muy grande y la atmósfera no es muy densa. Además, si observa su gráfico, la gravitación dentro de la Tierra aumenta hasta llegar al núcleo externo. Es probable que esto sea mucho más pronunciado en cuerpos gaseosos como gigantes gaseosos y estrellas.

Respuesta más larga:

En términos simples, si usamos el teorema del caparazón de Newton , puede ignorar la masa "encima" de usted porque el caparazón de materia con una distancia mayor desde el punto central que el que tiene tiene un efecto gravitatorio cercano a cero en usted. Técnicamente es una capa de masa a tu alrededor, pero lo llamaré "arriba" porque es más fácil decirlo.

Como resultado, al observar el campo gravitacional, puede tener en cuenta la masa debajo de usted y el radio e ignorar el caparazón sobre usted.

Si, por ejemplo, hace un túnel del 10% en un planeta, usando la ley de los cubos, el 72.9% del volumen del planeta está debajo de usted, pero está un 11.1% más cerca del centro, usando la ley del cuadrado inverso, eso es un 23.4% mayor atracción gravitacional del 72.9% del planeta que permanece debajo de usted de lo que obtendría de ese 72.9% si estuviera en la superficie del planeta.

Si el 72.9% del planeta debajo de usted pesa más del 81% de la masa del planeta, entonces la gravedad aumenta. Digamos que pesa exactamente el 81%. El 81% de la masa x 1.234 mayor tracción al 10% más cerca funciona exactamente igual. En otras palabras, si la masa sobre ti es lo suficientemente ligera, entonces la gravedad aumenta a medida que haces un túnel o caes dentro de un planeta. Es probable que haya una relación logarítmica bastante simple entre la relación de densidad y donde la gravedad deja de aumentar. Si puedo resolverlo, lo publicaré.

En el caso de Júpiter y comenzando cerca de su ecuador, con la rotación rápida de Júpiter, eso también debe tenerse en cuenta. En el caso de la Tierra, la rotación de la Tierra es bastante insignificante en relación con su gravedad y puede ignorarse a menos que desee una alta precisión.

Con los cuerpos planetarios, la densidad puede jugar un papel más importante que la masa con respecto a la gravedad superficial. Mercurio, por ejemplo, tiene aproximadamente un 52% de la masa de Marte, pero es un 38% más denso , lo que le permite tener una atracción gravitacional ligeramente mayor en su superficie que Marte.

Dos personas han señalado que no están seguras de que la gravedad realmente aumente dentro de Júpiter. Estoy seguro de que sí, porque la densidad en el interior de Júpiter probablemente aumenta significativamente. No podemos ver bien el interior de Júpiter, por lo que los números precisos son imposibles, pero me parece muy probable que la gravitación aumente gran parte del interior de Júpiter, solo comienza a disminuir cuando el núcleo alcanza una densidad considerable.

La mayoría de las capas externas de Júpiter son hidrógeno y el hidrógeno, incluso bajo una presión muy alta, no es muy denso. A 700 atm, por ejemplo, y la temperatura de la Tierra, no la temperatura caliente en el interior de Júpiter, el hidrógeno todavía tiene una densidad de menos de 1/10 de la densidad del agua . La masa de las capas externas de Júpiter es casi demasiado baja para tener tanto efecto gravitacional como las partes internas más densas cuando se tiene en cuenta la caída en el planeta.

Planetas como Urano o Neptuno, que mucho menos hidrógeno y helio, probablemente no tanto, pero para los gigantes gaseosos y la mayoría de las estrellas, la gravedad probablemente aumenta considerablemente en un porcentaje considerable de su radio, para un objeto que cae dentro de ellos.

No tengo idea de si eso es cierto o no para Júpiter. Sin embargo, es teóricamente posible si las capas externas del planeta son mucho menos densas que las que están debajo. En ese caso, el teorema del caparazón aplicado a las capas externas no elimina mucha gravedad, mientras que la gravedad de las partes internas aumenta rápidamente debido a la ley del cuadrado inverso.

Incluso para la imagen que ha publicado, la gravedad aumenta en la mitad inferior del manto inferior, cerca del núcleo externo, y por la misma razón. Las cosas en las capas externas son "esponjosas", las cosas en el núcleo son densas.