Distribución de probabilidad de funciones de variables aleatorias?

Tengo una duda: considere las variables aleatorias de valor real $X$ y $Z$ ambas definidas en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ .

Sea $Y:= g(X,Z)$ , donde $g(\cdot)$ es una función de valor real. Como $Y$ es una función de variables aleatorias, es una variable aleatoria.

Deje $x:=X(\omega)$ es decir, una realización de $X$ .

¿Es $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ igual a $\mathbb{P}(g(x,Z))$ ?

probability random-variable usuario3285148
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Debido a que su notación está bastante abreviada, puede valer la pena señalar que se refiere implícitamente a un conjunto

Borel , sujeto a un cuantificador universal, y que una representación más completa de su pregunta sería si es el caso de que

A

$A$

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

whuber

@whuber: su última igualdad es válida solo si

son independientes.

X

$X$

Z

$Z$

Zen

OK, solo estás considerando "si es el caso que ...".

Zen

Respuestas:

$g$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Z

$Z$

X

$X$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Esto se basa en el siguiente resultado general:

$U,T$ $S$ $P_S(\cdot \mid T=t)$ $S$ $T=t$ $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$
$\begin{matrix} (*) & E [U ∣ T = t] = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$

ψ

$\psi$

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$

B

$B$

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (B)} U d P & = E [1_{B} (T) U] = E [1_{B} (T) E [U ∣ S, T]] = E [ψ (S, T)] \\ = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t) \\ = \int_{B} φ (t) P_{T} (d t) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$

φ (t) = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$

B

$B$

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$

$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ $(*)$ $U=\psi(X,Z)$ $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ $S=Z$ $T=X$

E [U ∣ X = x, Z = z] = E [ψ (X, Y) ∣ X = x, Z = z] = ψ (x, z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$

(*)

$(*)$

\begin{aligned} P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) & = E [U ∣ X = x] = \int_{R} ψ (x, z) P_{Z} (d z ∣ X = x) \\ = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

Stefan Hansen
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