Distribución de valores extremos.

Si un artículo sigue la distribución normal, el promedio también sigue la distribución normal. ¿Qué pasa con el mínimo y el máximo?

Deberías echar un vistazo a las estadísticas de pedidos . Aquí hay un resumen muy breve.

Sea una muestra iid de tamaño n extraída de una población con función de distribución F y función de densidad de probabilidad f . Defina Y 1 = X ( 1 ) , ... , Y r = X ( r ) , ... , Y n = X ( n ) , donde X ( r ) denota la estadística de orden r de la muestra$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$ , es decir, su r valor más pequeño.$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

Se puede demostrar que la función de densidad de probabilidad conjunta de es$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

si y 1 < y 2 < … < y n y 0 en caso contrario.$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Al integrar la ecuación anterior obtenemos

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

En particular, para el mínimo y el máximo, respectivamente tenemos

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

$n\rightarrow\infty$

La suma de gaussianos es gaussiana. Es por eso que el promedio es normal. La distribución de cualquier función no lineal de (finitamente) gaussianos no necesita ser gaussiana, y generalmente no lo es. Tal es el caso de la función máxima. Para aproximar el máximo de un gaussiano multivariante, Hothorn es un buen lugar para comenzar.