¿Cuál es el propósito de las funciones características?

Espero que alguien pueda explicar, en términos simples, qué es una función característica y cómo se usa en la práctica. He leído que es la transformación de Fourier del pdf, así que supongo que sé lo que es, pero todavía no entiendo su propósito. Si alguien pudiera proporcionar una descripción intuitiva de su propósito y quizás un ejemplo de cómo se usa típicamente, ¡eso sería fantástico!

Solo una última nota: he visto la página de Wikipedia , pero aparentemente soy demasiado denso para entender lo que está sucediendo. Lo que estoy buscando es una explicación que alguien que no esté inmerso en las maravillas de la teoría de la probabilidad, dice un científico de la computación, pueda entender.

En el pasado, las personas usaban tablas de logaritmos para multiplicar números más rápido. ¿Por qué es esto? Los logaritmos convierten la multiplicación en suma, ya que . Entonces, para multiplicar dos números grandes y , encontraste sus logaritmos, agregaste los logaritmos, , y luego buscaste \ exp (z) en otra tabla.$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

Ahora, las funciones características hacen algo similar para las distribuciones de probabilidad. Supongamos que tiene una distribución e tiene una distribución , y e son independientes. Entonces la distribución de es la convolución de y , .$X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

Ahora, la función característica es una analogía del "truco de la tabla de logaritmos" para convolución, ya que si es la función característica de , entonces se cumple la siguiente relación:$\phi_f$$f$

Además, también como en el caso de los logaritmos, es fácil encontrar el inverso de la función característica: dado donde es una densidad desconocida, podemos obtener mediante la transformada inversa de Fourier de . h h ϕ $\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

La función característica convierte la convolución en multiplicación para las funciones de densidad de la misma manera que los logaritmos convierten la multiplicación en suma para los números. Ambas transformaciones convierten una operación relativamente complicada en una relativamente simple.

@ charles.y.zheng y @cardinal dieron muy buenas respuestas, agregaré mis dos centavos. Sí, la función característica puede parecer una complicación innecesaria, pero es una herramienta poderosa que puede obtener resultados. Si está tratando de probar algo con la función de distribución acumulativa, siempre es aconsejable verificar si no es posible obtener el resultado con la función característica. Esto a veces da pruebas muy cortas.

Aunque al principio la función característica parece una forma poco intuitiva de trabajar con distribuciones de probabilidad, hay algunos resultados poderosos directamente relacionados con ella, lo que implica que no puede descartar este concepto como una mera diversión matemática. Por ejemplo, mi resultado favorito en la teoría de la probabilidad es que cualquier distribución infinitamente divisible tiene la representación única de Lévy-Khintchine . Combinado con el hecho de que las distribuciones infinitamente divisibles son la única distribución posible para límites de sumas de variables aleatorias independientes (excluyendo casos extraños), este es un resultado profundo utilizando el teorema del límite central.

El propósito de las funciones características es que pueden usarse para derivar las propiedades de las distribuciones en la teoría de probabilidad. Si no está interesado en tales derivaciones, no necesita aprender sobre las funciones características.

La función característica es la transformada de Fourier de la función de densidad de la distribución. Si tiene alguna intuición con respecto a las transformadas de Fourier, este hecho puede ser esclarecedor. La historia común sobre las transformadas de Fourier es que describen la función 'en el espacio de frecuencias'. Dado que una densidad de probabilidad suele ser unimodal (al menos en el mundo real o en los modelos hechos sobre el mundo real), esto no parece terriblemente interesante.

La transformación de Fourier es una descomposición de la función (no periódica) en sus frecuencias. Interpretación para densidades?

La transformación de Fourier es la versión continua de una serie de Fourier ya que ninguna densidad es periódica, no hay expresión como "serie característica".