Ejemplos simples de e no correlacionados pero no independientes

Cualquier estudiante trabajador es un contraejemplo de "todos los estudiantes son flojos".

¿Cuáles son algunos contraejemplos simples para "si las variables aleatorias e no están correlacionadas, entonces son independientes"?$X$$Y$

Deje .$X\sim U(-1,1)$

Deje .$Y=X^2$

Las variables no están correlacionadas pero son dependientes.

Alternativamente, considere una distribución bivariada discreta que consiste en probabilidad en 3 puntos (-1,1), (0, -1), (1,1) con probabilidad 1/4, 1/2, 1/4 respectivamente. Entonces las variables no están correlacionadas pero son dependientes.

Considere datos bivariados uniformes en un diamante (un cuadrado rotado 45 grados). Las variables no estarán correlacionadas pero serán dependientes.

Esos son los casos más simples que se me ocurren.

Creo que la esencia de algunos de los contraejemplos simples se puede ver comenzando con una variable aleatoria continua centrada en cero, es decir, . Suponga que el pdf de es par y está definido en un intervalo de la forma , donde . Ahora suponga que para alguna función . Ahora hacemos la pregunta: ¿para qué tipo de funciones podemos tener ?E [ X ] = 0 X ( - a , a ) a > 0 Y = f ( X ) f f ( X ) C o v ( X , f ( X ) ) = $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$$Cov(X,f(X))=0$

Sabemos que . Nuestra suposición de que nos lleva directamente a . Denotando el pdf de través de , tenemosE [ X ] = 0 C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X f ( X ) ] X p $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

Queremos y una forma de lograr esto es asegurando que es una función par, lo que implica que es una función impar. Luego se deduce que , y entonces .f ( x ) x f ( x ) p ( x ) ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 C o v ( X , f ( X ) ) = $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$$Cov(X,f(X))=0$

De esta manera, podemos ver que la distribución precisa de no es importante como a lo largo como el pdf es simétrica alrededor de un cierto punto y cualquier función par va a hacer por la definición de .f ( ⋅ ) $X$$f(\cdot)$$Y$

Con suerte, esto puede ayudar a los estudiantes a ver cómo las personas inventan este tipo de contraejemplos.

¡Sé el contraejemplo (es decir, estudiante trabajador)! Con eso dicho:

Estaba tratando de pensar en un ejemplo del mundo real y este fue el primero que me vino a la mente. Este no será el caso matemáticamente más simple (pero si comprende este ejemplo, debería poder encontrar un ejemplo más simple con urnas y bolas o algo así).

Según algunas investigaciones, el coeficiente intelectual promedio de hombres y mujeres es el mismo, pero la varianza del coeficiente intelectual masculino es mayor que la varianza del coeficiente intelectual femenino. Para concretar, digamos que el IQ masculino sigue a y el IQ femenino sigue a con . La mitad de la población es masculina y la otra mitad femenina.N ( 100 , α σ 2 ) α < $N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

Asumiendo que esta investigación es correcta:

¿Cuál es la correlación de género e coeficiente intelectual?

¿El género y el coeficiente intelectual son independientes?

Podemos definir una variable aleatoria discreta con P ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

y luego defina $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Se puede verificar fácilmente que e no están correlacionados pero no son independientes.$X$$Y$

Prueba esto (código R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Esto es de la ecuación del círculo $x^2+y^2-r^2=0$

no está correlacionado con x , pero es funcionalmente dependiente (determinista). $Y$$x$

El único caso general cuando la falta de correlación implica independencia es cuando la distribución conjunta de X e Y es gaussiana.

Una respuesta de dos oraciones: el caso más claro de dependencia estadística no correlacionada es una función no lineal de un RV, digamos Y = X ^ n. Los dos RV son claramente dependientes pero aún no están correlacionados, porque la correlación es una relación lineal.