Distribución de muestreo del radio de distribución normal 2D

La distribución normal bivariada con media y matriz de covarianza puede reescribirse en coordenadas polares con radio y ángulo . Mi pregunta es: ¿Cuál es la distribución de muestreo de , es decir, de la distancia desde un punto al centro estimado dada la matriz de covarianza de muestra ?$\mu$r θ r x ˉ x S$\Sigma$$r$$\theta$$\hat{r}$$x$$\bar{x}$$S$

Antecedentes: la verdadera distancia desde un punto hasta la media sigue una distribución de Hoyt . Con valores propios de y , su parámetro de forma es , y su parámetro de escala es . Se sabe que la función de distribución acumulativa es la diferencia simétrica entre dos funciones Q de Marcum.$r$$x$λ 1 , λ 2 Σ λ 1 > λ 2 q = $\mu$$\lambda_{1}, \lambda_{2}$$\Sigma$$\lambda_{1} > \lambda_{2}$$q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$$\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

La simulación sugiere que conectar las estimaciones y para y en el verdadero cdf funciona para muestras grandes, pero no para muestras pequeñas. El siguiente diagrama muestra los resultados de 200 veces$\bar{x}$$S$$\mu$$\Sigma$

• simulando 20 vectores normales 2D para cada combinación de ( eje ), (filas) y cuantil (columnas) dados$q$$x$$\omega$
• para cada muestra, calculando el cuantil dado del radio observado a$\hat{r}$$\bar{x}$
• para cada muestra, calcular el cuantil de la Hoyt teórico (normal 2D) cdf, y de la cdf teórico Rayleigh después de conectar las estimaciones de la muestra y .$\bar{x}$$S$

A medida que acerca a 1 (la distribución se vuelve circular), los cuantiles Hoyt estimados se aproximan a los cuantiles Rayleigh estimados que no se ven afectados por . A medida que crece, la diferencia entre los cuantiles empíricos y los estimados aumenta, especialmente en la cola de la distribución.q $q$$q$$\omega$

Como mencionó en su publicación, conocemos la distribución de la estimación de si se nos da por lo que sabemos la distribución de la estimación de la verdadera . μ ^ r 2 t r u e r$\widehat{r_{true}}$$\mu$$\widehat{r^2_{true}}$$r^2$

Queremos encontrar la distribución de donde se expresan como vectores de columna.x

$$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$$ $x_i$

Ahora hacemos el truco estándar

$$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$$ donde surge de la ecuación y su transposición.$(1)$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$$

Observe que es el rastro de la matriz de covarianza de muestra y solo depende de la media la muestra . Por lo tanto, hemos escrito como la suma de dos Variables aleatorias independientes. Conocemos las distribuciones de y y así hemos terminado a través del truco estándar usando ese Las funciones características son multiplicativas. S( ¯ x -μ)T( ¯ x -μ) ¯ $\widehat{r^2}$$S$$(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$\overline{x}$

$$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$ $\widehat{r^2_{true}}$$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Editado para agregar:

$||x_i-\mu||$es Hoyt, entonces tiene pdf donde es la función Bessel modificada del primer tipo .

$$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$$ $I_0$$0^{th}$

Esto significa que el pdf de es $||x_i-\mu||^2$

$$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$$

Para facilitar la notación, configure , y .$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$$b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$$c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

La función generadora de momento de es $||x_i-\mu||^2$

$$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$$

Por lo tanto, la función generadora de momento de es y la función generadora de momento de es $\widehat{r^2_{true}}$

$$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ $||\overline{x} - \mu||^2$ $$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$$

Esto implica que la función generadora de momento de es $\widehat{r^2}$

$$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$$

La aplicación de la transformación inversa de Laplace da que tiene pdf $\widehat{r^2}$

$$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$$