Para una variable aleatoria continua, ¿por qué

Mi libro de texto pone esto en una caja lateral con el título "Nota" y no explica por qué. ¿Podría decirme por qué se cumple esta afirmación?

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

No hay nada formal que agregar a esto, pero una analogía que realmente me ayudó a entender esto vino de un texto de cálculo. Imagine que tiene una tubería de hierro de cierta longitud y peso. Y deseas cortarlo en dos pedazos. Si la tubería mide 1 m de largo, es posible que desee cortarla por la mitad en la marca de 0.5. Ahora piense en el peso de la tubería como algunas veces constantes de la longitud de la tubería (asumimos que todas las secciones transversales de igual longitud tienen el mismo peso).

Cortar la tubería por la mitad en la marca de 0,5 m: ¿cuánto peso pierde? Recuerde que la única sección transversal que está eliminando es la marca de 0,5 m. Entonces, ¿cuál es la longitud de esta sección transversal? Tenga en cuenta que 0.49999999 ... no está separado de él, y tampoco lo es 0.5000000000 ... 1, o cualquier otro punto cercano, pero no igual a 0.5, por lo que la longitud de esta sección transversal es técnicamente cero. Lo que significa que realmente no estás eliminando ningún peso.

Esto explicaría por qué y son básicamente lo mismo para las variables continuas, incluyendo o excluyendo el punto final realmente no cambia nada, para cualquier punto que elija cerca del punto final, todavía hay una cantidad infinita de puntos entre ellos.$\leq$$<$

¿Tiene esto algún sentido?

Primero daré la definición de una variable aleatoria (absolutamente) continua $Z$.

(Se necesita probabilidad avanzada, ¡muchos pueden saltearla!)

Dejar $(\Omega,F, P)$ser un espacio de probabilidad y dejar$Z:\Omega\rightarrow R^n$ser un vector aleatorio La probabilidad$P_X$ en $B(R^n)$ definido por $P_Z(A)=P\{Z\in A\}$, $A \in B(R^n)$ se llama la distribución de $Z$. Ahora si$P_Z\ll \mu,$ dónde $\mu$ es medida de Lebesgue en $R^n$, (es decir $P$es absolutamente continuo con respecto a$\mu$) entonces decimos que $Z$es un vector aleatorio (absolutamente) continuo. Ahora, usando el teorema de Radon-Nikodym , existe una función$f: R^n\to[0,+\infty]$ tal que $P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$ para todos $A \in B(R^n)$. Nosotros llamamos$f$ la función de densidad de $Z$.

Ahora defina la función de distribución acumulativa (CDF) de una variable aleatoria absolutamente continua $Z$ como:

$$F_Z(z)=P(Z\leq z).$$

Antes de dar una prueba formal, tengamos un ejemplo de una variable aleatoria continua que esté distribuida uniformemente, es decir, con una función de densidad de probabilidad de $f(z)=1$ para $0\leq z \leq 1$y 0 de lo contrario. Ahora intentemos encontrar$P(z=0.5)$. Tenemos

$$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$$ Podemos reducir ese intervalo para obtener una mejor aproximación de la siguiente manera: $$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$$ $$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$$ Como puede ver, estas probabilidades están convergiendo a cero a medida que reducimos la duración del intervalo. Ahora probémoslo formalmente. Voy a mostrar eso para cualquier variable aleatoria continua$Z$, tenemos: $$P(Z=a)=0,$$ utilizando el CDF. $$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$$ desde la función CDF, $F$, es una función "continua" para la variable aleatoria continua $Z$. similar$P(Z=b)=0$.
Finalmente tenga en cuenta que $$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$$ Entonces $$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$$ Puede usar el mismo argumento para otras igualdades.

Quizás una explicación más intuitiva es que para una variable continua la contribución de los bordes (por ejemplo, $a$ o $b$) a la probabilidad acumulativa en los intervalos circundantes (o semiintervalos) es insignificantemente pequeña.