Invertir la transformada de Fourier para una distribución de Fisher

La función característica de la distribución Fisher es: C ( t ) = Γ ( α + $\mathcal{F}(1,\alpha)$ dondeUes lafunción hipergeométrica confluente. Estoy tratando de resolver la transformada inversa de FourierF-1t,xde lan-voluciónpara recuperar la densidad de una variablex, es decir: F-1t,x(C(t)n) con el fin de obtener La distribución de la suma denvariables aleatorias distribuidas por Fisher. Me pregunto si alguien tiene alguna idea, ya que parece ser muy difícil de resolver. Intenté valores de

$$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$$ $U$$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$$n$$x$ $$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$$ $n$ y n = 2 en vano. Nota: para n = 2 por convolución obtengo el pdf del promedio (no suma):$\alpha=3$$n=2$$n=2$

,

$$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$$

donde es un promedio de 2 variables. Sé que es difícil de manejar, pero me encantaría tener una idea de la aproximación de la distribución de la cuenca.$x$

No existe una densidad de forma cerrada para una convolución de estadísticas F, por lo que no es probable que tratar de invertir la función característica analíticamente conduzca a algo útil.

En estadística matemática, la expansión inclinada de Edgeworth (también conocida como aproximación de punto de silla de montar) es una técnica famosa y de uso frecuente para aproximar una función de densidad dada la función característica. La aproximación del punto de silla de montar si a menudo es notablemente precisa. Ole Barndorff-Nielsen y David Cox escribieron un libro de texto explicando esta técnica matemática.

Hay otras formas de abordar el problema sin utilizar la función característica. Uno esperaría que la distribución de convolución sea algo así como una distribución F en forma. Uno podría intentar una aproximación como$aF(n,k)$ Para el $n$-volución, y luego elegir $a$ y $k$para corregir los dos primeros momentos de la distribución. Esto es fácil dada la media y la varianza conocidas de la distribución F.

Si $\alpha$ es grande, entonces la convolución converge a una distribución chisquare en $n$grados de libertad. Esto es equivalente a elegir$a=n$ y $k=\infty$ en la aproximación anterior, que muestra que la aproximación simple es precisa para grandes $\alpha$.