Idea modelo mixta y método bayesiano

En el modelo mixto, suponemos que los efectos aleatorios (parámetros) son variables aleatorias que siguen distribuciones normales. Se ve muy similar al método bayesiano, en el que se supone que todos los parámetros son aleatorios.

Entonces, ¿es el modelo de efectos aleatorios un tipo de caso especial del método bayesiano?

Esta es una buena pregunta. Estrictamente hablando, usar un modelo mixto no te hace bayesiano. Imagine estimar cada efecto aleatorio por separado (tratándolo como un efecto fijo) y luego mirar la distribución resultante. Esto es "sucio", pero conceptualmente tiene una distribución de probabilidad sobre los efectos aleatorios basada en un concepto de frecuencia relativa .

Pero si, como frecuentista, se ajusta a su modelo utilizando la máxima probabilidad y luego desea "estimar" los efectos aleatorios, tiene una pequeña complicación. Estas cantidades no son fijas como los parámetros de regresión típicos, por lo que una palabra mejor que "estimación" probablemente sería "predicción". Si desea predecir un efecto aleatorio para un sujeto determinado, querrá usar los datos de ese sujeto. Tendrá que recurrir a la regla de Bayes, o al menos a la noción de que

$$f(\beta_i | \mathbf{y}_i) \propto f(\mathbf{y}_i | \beta_i) g(\beta_i).$$ funciona esencialmente como un previo. Y creo que en este punto, mucha gente llamaría a esto "Bayes empírico".$g()$

Para ser un verdadero bayesiano, no solo necesitaría especificar una distribución para sus efectos aleatorios, sino también distribuciones (anteriores) para cada parámetro que define esa distribución, así como distribuciones para todos los parámetros de efectos fijos y el modelo épsilon. ¡Es bastante intenso!

Los efectos aleatorios son una forma de especificar una suposición distribucional mediante el uso de distribuciones condicionales. Por ejemplo, el modelo ANOVA unidireccional aleatorio es: Y este supuesto de distribución es equivalente a ( y i 1 ⋮ y i J ) ∼ iid N ( ( μ ⋮ μ ) , Σ )

$$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$$ donde Σ tiene una estructura intercambiable (con entrada diagonal σ 2 b + σ 2 w y covarianza σ 2 b ). Para Bayesianificar el modelo, debe asignar distribuciones previas en μ y Σ . $$\begin{pmatrix} y_{i1} \\ \vdots \\ y_{iJ} \end{pmatrix} \sim_{\text{iid}} {\cal N}\left(\begin{pmatrix} \mu \\ \vdots \\ \mu \end{pmatrix}, \Sigma\right), \quad i=1,\ldots,I$$ $\Sigma$$\sigma^2_b+\sigma^2_w$$\sigma^2_b$$\mu$$\Sigma$

Si está hablando en términos de reproducir las mismas respuestas, entonces la respuesta es sí. El método computacional INLA (google "inla bayesian") para GLMM bayesianos combinado con un previo uniforme para los efectos fijos y los parámetros de varianza, básicamente reproduce las salidas EBLUP / EBLUE bajo la aproximación gaussiana "enchufe simple", donde se estiman los parámetros de varianza a través de REML.

No lo creo, lo considero parte de la función de probabilidad. Es similar a especificar que el término de error sigue una distribución Normal en un modelo de regresión, o un determinado proceso binario puede modelarse utilizando una relación logística en un GLM.

Como no se utiliza información previa o distribuciones, no lo considero bayesiano.