respecto a la independencia condicional y su representación gráfica

Al estudiar la selección de covarianza, una vez leí el siguiente ejemplo. Con respecto al siguiente modelo:

Su matriz de covarianza y matriz de covarianza inversa se dan de la siguiente manera,

No entiendo por qué la independencia de e es decidido por la covarianza inversa aquí?$x$$y$

¿Cuál es la lógica matemática que subyace a esta relación?

Además, se afirma que el gráfico de la izquierda en la siguiente figura captura la relación de independencia entre e ; ¿por qué?$x$$y$

La matriz de covarianza inversa se puede usar para calcular varianzas condicionales y covarianzas para distribuciones gaussianas multivariadas. Una pregunta anterior da algunas referencias

Por ejemplo, para encontrar la covarianza condicional de y Z dado el valor X = x , tomaría la esquina inferior derecha de la matriz de covarianza inversa$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

que de hecho da la matriz de covarianza de y Z condicionada al valor de X = x .$Y$$Z$$X=x$

De manera similar, para encontrar la matriz de covarianza condicional de e Y dado el valor de Z = z , tomaría la esquina superior izquierda de la matriz de covarianza inversa$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

diciéndole que la covarianza condicional entre e Y dada Z = z es 0 (y que cada una de sus varianzas condicionales es 1 ). $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

Para concluir que esta covarianza condicional cero implica independencia condicional, también debe usar el hecho de que se trata de un gaussiano multivariado (como en general, la covarianza cero no implica necesariamente independencia). Sabes esto de la construcción.

$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Este es un complemento de la respuesta correcta y aceptada. En particular, la pregunta original contiene una pregunta de seguimiento sobre la declaración que hace el libro.

$X$$Y$

Esto es lo que se aborda en esta respuesta, y es lo único que se aborda en esta respuesta.

Para asegurarme de que estamos en la misma página, en lo que sigue uso esta definición de gráfico de independencia condicional (no dirigido) que corresponde (al menos aproximadamente) a los campos aleatorios de Markov:

$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

De p. 60 de Whittaker, Modelos gráficos en estadística matemática multivariada aplicada (1990).

$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

$X$$Y$

Con respecto al gráfico de la izquierda, no está claro sin tener más contexto, pero creo que la idea es solo mostrar cómo se vería el gráfico de independencia condicional si no tuviéramos ceros en esas entradas de la matriz de covarianza inversa.

$X, Y, Z$