Estimación de la pendiente de la porción recta de una curva sigmoidea

Me dieron esta tarea y me quedé perplejo. Un colega me pidió que calcule y de la siguiente tabla: x l o w e $x_{upper}$$x_{lower}$

La curva es en realidad una distribución acumulativa, y x es algún tipo de medidas. Le interesa saber cuáles son los valores correspondientes en x cuando la función acumulativa comenzó a ser recta y se desvió de ser recta.

Entiendo que podemos usar la diferenciación para encontrar la pendiente en un punto, pero no estoy muy seguro de cómo determinar cuándo podemos llamar a la línea recta. Cualquier empujón hacia algún enfoque / literatura ya existente será muy apreciado.

Sé R también si conoces algún paquete o ejemplo relevante sobre este tipo de investigaciones.

Muchas gracias.

ACTUALIZAR

Gracias a Flounderer pude ampliar aún más el trabajo, configurar un marco y modificar los parámetros aquí y allá. Para fines de aprendizaje, aquí están mi código actual y una salida gráfica.

library(ESPRESSO)

x <- skew.rnorm(800, 150, 5, 3)
x <- sort(x)
meanX <- mean(x)
sdX <- sd(x)
stdX <- (x-meanX)/sdX
y <- pnorm(stdX)

par(mfrow=c(2,2), mai=c(1,1,0.3,0.3))
hist(x, col="#03718750", border="white", main="")

nq <- diff(y)/diff(x)
plot.ts(nq, col="#6dc03480")

log.nq <- log(nq)
low <- lowess(log.nq)
cutoff <- .7
q <- quantile(low$y, cutoff)
plot.ts(log.nq, col="#6dc03480")
abline(h=q, col="#348d9e")

x.lower <- x[min(which(low$y > q))]
x.upper <- x[max(which(low$y > q))]
plot(x,y,pch=16,col="#03718750", axes=F)
axis(side=1)
axis(side=2)
abline(v=c(x.lower, x.upper),col="red")
text(x.lower, 1.0, round(x.lower,0))
text(x.upper, 1.0, round(x.upper,0))

Aquí hay una idea rápida y sucia basada en la sugerencia de @ alex.

#simulated data
set.seed(100)
x <- sort(exp(rnorm(1000, sd=0.6)))
y <- ecdf(x)(x)

Se parece un poco a sus datos. La idea ahora es mirar la derivada e intentar ver dónde es más grande. Esta debería ser la parte de su curva donde es más recta, debido a que tiene forma de S.

NQ <- diff(y)/diff(x)
plot.ts(NQ)

$x$

log.NQ <- log(NQ)
low <- lowess(log.NQ)
cutoff <- 0.75
q <- quantile(low$y, cutoff)
plot.ts(log.NQ)
abline(h=q)

$x$

x.lower <- x[min(which(low$y > q))]
x.upper <- x[max(which(low$y > q))]
plot(x,y)
abline(v=c(x.lower, x.upper))

cutoff$y$