¿Puedo usar un intervalo de confianza de la media de Poisson para su varianza?

En una distribución de Poisson, la media es igual a la varianza. Me gustaría encontrar un intervalo de confianza de la varianza. ¿Es correcto mi razonamiento a continuación?
Usando el teorema del límite central, construyo un intervalo de confianza del 95% para la media$\mu$
$L \leq \mu \leq U$
$\mu=\sigma^2$
Por lo tanto, Me parece que la desigualdad debería funcionar como cualquier otra desigualdad en matemáticas, pero las estadísticas pueden arrojar una bola curva a veces así que no estoy seguro de eso. No puedo encontrar ningún documento que discuta si este enfoque es válido. Otro buen ejemplo de esto es un intervalo de confianza para la media y la mediana de una distribución normal. El intervalo de confianza medio es más pequeño, pero el intervalo de confianza medio es más robusto, por lo que cualquiera podría preferirse como una estimación del otro.
$L \leq \sigma^2 \leq U$

Su enfoque es básicamente correcto, pero depende en gran medida de la fuerte suposición distributiva que está haciendo. Si se viola, incluso para muestras muy grandes, las regiones de confianza no tendrán las probabilidades de cobertura establecidas. Es por eso que los estadísticos intentan evitar tal razonamiento si hay métodos más sólidos disponibles.

En realidad, hay un ejemplo (no relacionado con los intervalos de confianza sino con la estimación puntual) en el que los estadísticos aplicados utilizan con frecuencia su enfoque: suponga que desea estimar el verdadero cuantil del 97.5%, por ejemplo, para detectar valores atípicos. A menudo, en lugar de calcular la muestra del 97.5% cuantil, los investigadores asumen la normalidad y estiman el verdadero cuantil por la media de la muestra más dos desviaciones estándar. Si la distribución subyacente es normal (que generalmente no tiene ninguna razón para serlo), esta estimación es más eficiente que la basada en cuantiles de muestra.