Definición de probabilidad condicional con múltiples condiciones

Específicamente, digamos que tengo dos eventos, A y B, y algunos parámetros de distribución , y me gustaría mirar .P ( A | B , θ $\theta$$P(A | B,\theta)$

Entonces, la definición más simple de probabilidad condicional es, dados algunos eventos A y B, entonces . Entonces, si hay varios eventos para condicionar, como he mencionado anteriormente, ¿podría decir que o ¿estoy mirando la manera totalmente incorrecta? Tiendo a mentalizarme cuando trato con la probabilidad a veces, no estoy realmente seguro de por qué. P(A|B,θ) ? = P((A|θ)∩(B|θ)$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$P(A | B,\theta) \stackrel{?}{=} \frac{P((A | \theta)\cap(B | \theta))}{P(B|\theta)}$

Puedes hacer un pequeño truco. Let . Ahora puedes escribir$(B \cap \theta) = C$

$$P(A|B, \theta) = P(A|C).$$ El problema se reduce al de una probabilidad condicional con una sola condición: $$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$$

Ahora complete para C nuevamente y lo tendrá:$(B \cap \theta)$$C$

$$\frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A \cap (B \cap \theta))}{P(B \cap \theta)}$$

Y este es el resultado al que querías llegar. Escribamos esto exactamente en la forma que tenías cuando originalmente planteaste la pregunta:

$$P(A|B , \theta) = \frac{ P(A \cap B \cap \theta) }{ P(B \cap \theta) }$$

En cuanto a tu segunda pregunta, ¿por qué es que la probabilidad te asusta? Es uno de los hallazgos de la investigación psicológica que los humanos no son muy buenos en el razonamiento probabilístico ;-). Fue un poco difícil para mí encontrar una referencia a la que pueda señalarle. Pero el trabajo de Daniel Kahneman es ciertamente muy importante a este respecto.

Creo que probablemente quieras esto:

$$\rm{P}(A|B,\theta) = \frac{\rm{P}(A\cap B|\theta)}{\rm{P}(B|\theta)}$$

A menudo me resulta confuso pensar en cómo manipular las probabilidades. Con múltiples condiciones, me resulta más fácil pensar de esta manera:

• elimine temporalmente las condiciones que desea que permanezcan como condiciones en su resultado. En este caso, escriba , sacando .$\rm{P}(A|B)$$\theta$
• Aplica las reglas normales. En este caso .$\rm{P}(A|B) = \rm{P}(A\cap B)/\rm{P}(B)$
• restaurar las condiciones que se eliminaron. En este caso, restaure , para obtener el resultado .$\theta$$\rm{P}(A|B,\theta) = \rm{P}(A\cap B|\theta)/\rm{P}(B|\theta)$