¿Por qué el Moran I no es igual a "-1" en un patrón de puntos perfectamente disperso?

¿Wikipedia está mal ... o no lo entiendo?

Wikipedia: Los cuadrados blanco y negro ("patrón de ajedrez") están perfectamente dispersos, por lo que el de Moran sería −1. Si los cuadrados blancos se apilaran en la mitad del tablero y los cuadrados negros en la otra, el de Moran estaría cerca de +1. Una disposición aleatoria de colores cuadrados le daría a I de Moran un valor cercano a 0.

# Example data:
x_coor<-rep(c(1:8), each=8)
y_coor<-rep(c(1:8), length=64)
my.values<-rep(c(1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1), length=64)
rbPal <- colorRampPalette(c("darkorchid","darkorange"))
my.Col <- rbPal(10)[as.numeric(cut(my.values,breaks = 10))]

# plot the point pattern...
plot(y_coor,x_coor,col = my.Col, pch=20, cex=8, xlim=c(0,9),ylim=c(0,9))

Como pueden ver, los puntos están perfectamente dispersos

# Distance matrix
my.dists <- as.matrix(dist(cbind(x_coor,y_coor)))
# ...inversed distance matrix
my.dists.inv <- 1/my.dists
# diagonals are "0"
diag(my.dists.inv) <- 0

Biblioteca de cómputo Moran's I (mono)

Moran.I(my.values, my.dists.inv)
$observed
[1] -0.07775248

$expected
[1] -0.01587302

$sd
[1] 0.01499786

$p.value
[1] 3.693094e-05

Por qué me observan = -0.07775248 en lugar de "-1".

Wikipedia, específicamente http://en.wikipedia.org/wiki/Moran's_I mientras escribo, está muy equivocado en este punto.

Aunque es una medida de autocorrelación, no es un análogo exacto de ningún coeficiente de correlación limitado por y . Los límites, desafortunadamente, son mucho más complicados.$I$$-1$$1$

Para un análisis mucho más cuidadoso, vea

de Jong, P., Sprenger, C., van Veen, F. 1984. Sobre los valores extremos de Moran's y Geary's . Análisis geográfico 16: 17-24. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1538-4632.1984.tb00797.x/pdf$I$$c$

No he tratado de verificar tu cálculo.

Cuando se usa la matriz de pesos espaciales basada en contigüidad de Queens, es decir, los vecinos solo se consideran alejados por una distancia de 1 (y no del mismo color en las diagonales distancia) se obtiene el valor observado de I de Moran . -$\sqrt{2}$$-1$

my.dists.bin <- (my.dists == 1)
diag(my.dists.bin) <- 0

library(ape)
Moran.I(my.values, my.dists.bin)

Aquí está tu imagen original para que la gente entienda de lo que estoy hablando. Esta construcción hace que solo el naranja sea vecino del púrpura y viceversa, solo el púrpura sea vecino del naranja.

Me impresionaría si pudiera inventar una autocorrelación negativa perfecta con una matriz ponderada de distancia inversa, incluso con los límites enumerados en la cita en la respuesta de Nick Cox. Gran parte de la teoría utilizada por los economistas utiliza matrices de contigüidad binarias que están estandarizadas por filas para desarrollar distribuciones (ver Indicadores locales de asociación espacial-LISA ( Anselin, 1995 ) de la misma revista de Análisis Geográfico). En resumen, muchos de los resultados solo se prueban para formas particulares de una matriz de pesos, que no tienden a ser exactamente portátiles para matrices de pesos espaciales ponderadas a distancia inversa (o más exóticas).