¿Un estimador imparcial medio minimiza la desviación absoluta media?

Este es un seguimiento, pero también una pregunta diferente de la anterior .

Leí en Wikipedia que " Un estimador imparcial mediano minimiza el riesgo con respecto a la función de pérdida de desviación absoluta, como lo observó Laplace ". Sin embargo, mis resultados de simulación de Monte Carlo no respaldan este argumento.

Asumo una muestra de una población-log normal, , donde, μ y σ son el log-mean y log-sd, β = exp ( μ ) = $X_1,X_2,...,X_N \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$\beta = \exp(\mu)=50$

El estimador de la media geométrica es un estimador imparcial medio para la mediana de la población ,$\exp(\mu)$

, donde,μyσson la media logarítmica log-sd, μ y σ son los MLEs paraμyσ.$\hat{\beta}_{\mbox{GM}}= \exp(\hat{\mu})= \exp{(\sum\frac{\log(X_i)}{N})} \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2/N)$$\mu$$\sigma$$\hat\mu$$\hat\sigma$$\mu$$\sigma$

Mientras que un estimador de media geométrica corregida es un estimador imparcial de media para la mediana de la población.

$\hat{\beta}_{\mbox{CG}}= \exp(\hat{\mu}-\hat\sigma^2/2N)$

Genero muestras de tamaño 5 repetidamente desde el LN . El número de replicación es 10,000. Las desviaciones absolutas promedio que obtuve son 25.14 para el estimador de la media geométrica y 22.92 para la media geométrica corregida. ¿Por qué?$(\log(50),\sqrt{\log(1+2^2)})$

Por cierto, las desviaciones absolutas medias estimadas son 18.18 para la media geométrica y 18.58 para el estimador de la media geométrica corregida.

El script R que utilicé está aquí:

#```{r stackexchange}
#' Calculate the geomean to estimate the lognormal median.
#'
#' This function Calculate the geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' @param x a vector.
require(plyr)
GM <- function(x){
    exp(mean(log(x)))
}
#' Calculate the bias corrected geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' This function Calculate the bias corrected geomean using the
#' variance of the log of the samples, i.e., $\hat\sigma^2=1/(n-1)
# \Sigma_i(\Log(X_i)-\hat\mu)^2$
#'
#' @param x a vector.
BCGM <- function(x){
y <- log(x)
exp(mean(y)-var(y)/(2*length(y)))
}
#' Calculate the bias corrected geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' This function Calculate the bias corrected geomean using
#' $\hat\sigma^2=1/(n)\Sigma_i(\Log(X_i)-\hat\mu)^2$
#'
#' @param x a vector.
CG <- function(x){
y <- log(x)
exp(mean(y)-var(y)/(2*length(y))*(length(y)-1)/length(y))
}

############################

simln <- function(n,mu,sigma,CI=FALSE)
{
    X <- rlnorm(n,mu,sigma)
    Y <- 1/X
    gm <- GM(X)
    cg <- CG(X)
    ##gmk <- log(2)/GM(log(2)*Y) #the same as GM(X)
    ##cgk <- log(2)/CG(log(2)*Y)
    cgk <- 1/CG(Y)
    sm <- median(X)
    if(CI==TRUE) ci <- calCI(X)
    ##bcgm <- BCGM(X)
    ##return(c(gm,cg,bcgm))
    if(CI==FALSE) return(c(GM=gm,CG=cg,CGK=cgk,SM=sm)) else return(c(GM=gm,CG=cg,CGK=cgk,CI=ci[3],SM=sm))
}
cv <-2
mcN <-10000
res <- sapply(1:mcN,function(i){simln(n=5,mu=log(50),sigma=sqrt(log(1+cv^2)), CI=FALSE)})
sumres.mad <- apply(res,1,function(x) mean(abs(x-50)))
sumres.medad <- apply(res,1,function(x) median(abs(x-50)))
sumres.mse <- apply(res,1,function(x) mean((x-50)^2))
#```

#```{r eval=FALSE}
#> sumres.mad
      GM       CG      CGK       SM 
#25.14202 22.91564 29.65724 31.49275 
#> sumres.mse
      GM       CG      CGK       SM 
#1368.209 1031.478 2051.540 2407.218 
#```

$\alpha^+$$\alpha$

$E=<|\alpha^+-\alpha|> = \int_{-\infty}^{\alpha^+} (\alpha^+-\alpha)f(\alpha) \mathrm{d}\alpha + \int^{\infty}_{\alpha^+} (\alpha-\alpha^+)f(\alpha)\mathrm{d}\alpha$

necesitamos

$\frac{dE}{d\alpha^+} = \int_{-\infty}^{\alpha^+} f(\alpha) \mathrm{d}\alpha - \int^{\infty}_{\alpha^+} f(\alpha) \mathrm{d}\alpha = 0$

que es equivalente a $P(\alpha > \alpha^+) = 1/2$. Entonces$\alpha^+$ se muestra que es la mediana que sigue a Laplace en 1774.

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