Variación del rendimiento anual basado en la variación del rendimiento mensual

Estoy tratando de entender todo el error de varianza / estándar de una serie temporal de retornos financieros, y creo que estoy estancado. Tengo una serie de datos de devolución de existencias mensuales (llamémosla ), que tiene un valor esperado de 1.00795 y una varianza de 0.000228 (el desarrollo estándar es 0.01512). Estoy tratando de calcular el peor caso del rendimiento anual (digamos el valor esperado menos el doble del error estándar). ¿Cuál es la mejor manera de hacerlo? Una . Calcule por un solo mes ( ), y multiplíquelo por sí mismo 12 veces (= 0.7630 ). B . Suponiendo que los meses son independientes, defina 12 veces, encuentre su valor esperado$X$

$\mu_X-2\cdot \sigma_X=0.977$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$E[Y]=(E[X])^{12}$) y varianza . El desarrollo estándar en este caso es 0.0572, y el valor esperado menos el doble del desarrollo estándar es 0.9853 . C. Multiplique el desarrollo estándar mensual con para obtener el anual. Utilícelo para encontrar el peor caso anual valor ( ). Sale como 0.9949 . ¿Cuál es la correcta? ¿Cuál es la forma correcta de calcular el valor anual esperado menos el doble del desarrollo estándar si conoce estas propiedades solo para los datos mensuales? ? (En general, si 12 veces y ,$\operatorname{var}[Y]=(\operatorname{var}[X]+(E[X])^2)^{12} - ((E[X]^2)^{12}$

$\sqrt{12}$$\mu - 2\cdot \sigma$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$\mu_X$$\sigma_X$se conocen, ¿qué es ?)$\mu_Y-2\cdot \sigma_Y$

Si define el retorno proporcional como , donde es el precio, no es raro que los retornos diarios simplemente multipliquen el retorno proporcional por (cantidad de trabajo días en un año) y la desviación estándar de para anualizarlos. Esto corresponde a su caso C . El punto aquí es reescalar para que se pueda informar una cifra anual significativa de las cifras diarias (pero no se usaría esto para comparar rigurosamente las métricas derivadas de lo diario con las derivadas de lo mensual). En general, haría todos sus cálculos y tomaría todas sus decisiones con la frecuencia con la que recopiló sus datos (mensualmente en su caso).$\Delta P/P = (P_{t+1}-P_t)/P_t$$P$$250$$\sqrt{250}$

El enfoque teóricamente correcto es usar log return = (usando registros naturales). La fórmula para la expectativa de una suma de variables aleatorias se puede usar correctamente, porque la suma de los retornos del registro es el registro del producto de los retornos.$\log(P_{t+1}/P_t)$

Además, si usa registros devueltos, el Teorema del límite central da alguna justificación teórica de que los retornos del registro están normalmente distribuidos (esencialmente el Teorema del límite central dice que la suma de variables independientes tiende a una distribución normal a medida que aumenta el número de variables aleatorias en la suma ) Esto le permite asignar una probabilidad de ver un retorno menor que (la probabilidad está dada por la función de distribución acumulativa para la distribución normal: . Si las devoluciones de registros se distribuyen normalmente, entonces decimos que las devoluciones se distribuyen de forma lognormal: este es uno de los supuestos utilizados para derivar la famosa fórmula de precios de la opción Black Scholes.$\mu - 2\sigma$$\Phi(-2) \simeq 0.023)$

Una cosa a tener en cuenta es que cuando un retorno proporcional es pequeño, entonces el retorno proporcional es aproximadamente igual a los retornos logarítmicos. La razón de esto es que la serie de Taylor para el logaritmo natural está dada por , y cuando el retorno proporcional es pequeño, puede ignorar los términos con , , etc. Esta aproximación brinda un poco más de comodidad a aquellos que eligen trabajar con retornos proporcionales y multiplican la media por y el desviación estándar por !$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \ldots$$x$$x^2$$x^3$$n$$\sqrt{n}$

Debería poder encontrar más información en la web. Por ejemplo, intenté buscar "retornos de registro" para refrescar mi memoria, y el primer golpe me pareció bastante bueno.

Lo que has puesto en caso de que A esté mal. En el resto de su publicación, utiliza los hechos de que (i) la expectativa de una suma de variables aleatorias es la suma de sus expectativas, y (ii) la varianza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de sus variaciones. De (ii), se deduce que la desviación estándar de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con desviación estándar es . Pero en el caso A , ha multiplicado tanto la media como la desviación estándar por , mientras que la media debe multiplicarse por la desviación estándar por$n$$\sigma$$\sqrt{n}\sigma$$\mu_X$$\sigma_X$$n$$n$$\sqrt{n}$.

Un punto sutil pero importante, como se señala en el comentario de @ whuber, es que la regla (ii) requiere correlación, que en el caso de series de tiempo significa que no hay correlación en serie (generalmente cierto pero vale la pena verificarlo). El requisito de independencia es válido tanto en el caso de las devoluciones proporcionales como en las de registro.

(No he visto el caso B , el producto de variables aleatorias, antes. No creo que este enfoque se use comúnmente. No he analizado en detalle sus cálculos, pero sus números parecen correctos, y la fórmula puede se encuentra en wikipedia . En mi opinión, este enfoque parece mucho más complicado que la aproximación involucrada en el uso de retornos proporcionales o el enfoque teóricamente correcto de usar retornos de registro. Y, en comparación con el uso de retornos de registro, ¿qué puede decir sobre la distribución de ¿Y? ¿Cómo puede asignar probabilidades a su peor retorno de caso, por ejemplo?)