¿Por qué la probabilidad es cero para cualquier valor dado de una distribución normal?

Noté que en la distribución Normal, la probabilidad es igual a cero, mientras que para la distribución de Poisson, no será igual a cero cuando c es un número entero no negativo.$P(x=c)$$c$

Mi pregunta es: ¿la probabilidad de cualquier constante en la distribución normal es igual a cero porque representa el área bajo cualquier curva? ¿O es solo una regla para memorizar?

Quizás el siguiente experimento mental lo ayude a comprender mejor por qué la probabilidad es cero en una distribución continua: Imagine que tiene una rueda de la fortuna . Normalmente, la rueda está dividida en varios sectores discretos, quizás unos 20. Si todos los sectores tienen la misma área, que tendría una probabilidad de 1 / 20 para golpear un sector específico (por ejemplo, el precio principal). La suma de todas las probabilidades es 1, porque 20 ⋅ 1 / 20 = 1 . Más general: si hay $Pr(X=a)$$1/20$$20\cdot 1/20 = 1$$m$sectores distribuidos uniformemente en la rueda, cada sector tiene una probabilidad de de ser golpeado (probabilidades uniformes). Pero, ¿qué sucede si decidimos dividir la rueda en un millón de sectores? Ahora la probabilidad de golpear uno sectores específicos (el premio principal), es extremadamente pequeño: 1 / 10 6 . Además, tenga en cuenta que el puntero teóricamente puede detenerse en un número infinito de posiciones de la rueda. Si quisiéramos hacer un premio por separado para cada posible punto de parada, tendríamos que dividir la rueda en un número infinito de "sectores" de igual área (pero cada uno de ellos tendría un área de 0). Pero, ¿qué probabilidad deberíamos asignar a cada uno de estos "sectores"? Se debe ser cero$1/m$$1/10^{6}$porque si las probabilidades para cada "sector" fueran positivas e iguales, la suma de infinitos números positivos iguales diverge, lo que crea una contradicción (la probabilidad total debe ser 1). Es por eso que solo podemos asignar una probabilidad a un intervalo , a un área real en la rueda.

Más técnico: en una distribución continua (por ejemplo, continua uniforme , normal y otras ), la probabilidad se calcula por integración, como un área bajo la función de densidad de probabilidad (con a ≤ b ): P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ b a f ( x ) d x Pero el área de un intervalo de longitud 0 es 0.$f(x)$$a\leq b$

Vea este documento para la analogía de la rueda de la fortuna.

La distribución de Poisson, por otro lado, es una distribución de probabilidad discreta. Una variable aleatoria de Poisson solo puede tomar valores discretos (es decir, el número de hijos para una familia no puede ser 1.25). La probabilidad de que una familia tenga exactamente 1 hijo ciertamente no es cero, pero es positiva. La suma de todas las probabilidades para todos los valores debe ser 1. Otras distribuciones discretas famosas son: binomial , binomial negativo , geométrico , hipergeométrico y muchos otros .

"Las probabilidades de variables aleatorias continuas (X) se definen como el área bajo la curva de su PDF. Por lo tanto, solo los rangos de valores pueden tener una probabilidad distinta de cero. La probabilidad de que una variable aleatoria continua sea igual a algún valor siempre es cero". página de referencia: http://support.minitab.com/en-us/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distributions/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -distribuciones de probabilidad/