¿Se puede aplicar el lema de Neyman-Pearson al caso cuando la simple nula y la alternativa no pertenecen a la misma familia de distribuciones?

1. ¿Puede aplicarse el lema de Neyman-Pearson al caso cuando una simple nula y una alternativa simple no pertenecen a la misma familia de distribuciones? Por su prueba, no veo por qué no puede.

   Por ejemplo, cuando el nulo simple es una distribución normal y la alternativa simple es una distribución exponencial.

2. ¿Es la prueba de razón de verosimilitud una buena manera de probar un nulo compuesto contra una alternativa compuesta cuando ambos pertenecen a diferentes familias de distribuciones?

¡Gracias y saludos!

Sí, Neyman Pearson Lemma puede aplicarse al caso cuando las alternativas simples nulas y simples no pertenecen a la misma familia de distribuciones.

Queremos construir una prueba más poderosa (MP) de contra H 1 : X ∼ Exp ( 1 $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$ de su tamaño.

Para una particular , nuestra función crítica por el lema de Neyman Pearson es$k$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$

es una prueba de MP de contra H 1 de su tamaño.$H_0$$H_1$

Aquí

$$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$$

Tenga en cuenta que Ahora, si dibujas la imagen der(x)[No sé cómo construir una imagen en respuesta], de la gráfica quedará claro quer(x)>

$$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$$ $r(x)$ .$r(x)>k \implies x>c$

Entonces, para un particular ϕ ( x ) = { 1 , x > c 0 , de lo contrario es una prueba de MP de H o contra H $c$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$ $H_o$$H_1$ de su tamaño.

Puedes probar

• 1. contraH1:X∼Cauchy(0,1$H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$$H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  2. contra H 1 : X ∼ Cauchy ( 0 , 1 $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  3. contra H 1 : X ∼ Doble exponencial ( 0 , 1 $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Por Neyman Pearson lema.

Normalmente, la prueba de probabilidad de racionamiento (LRT) no es una buena forma de alternativa compuesta nula y compuesta que pertenecen a diferentes familias de distribuciones. El LRT es especialmente útil cuando $\mathbb{\theta}$ es un multiparámetro y deseamos probar hipótesis relacionadas con uno de los parámetros .

Eso es todo de mi parte.

Q2 La razón de probabilidad es una estadística de prueba lo suficientemente sensible, pero (a) el Lema de Neyman-Pearson no se aplica a hipótesis compuestas, por lo que el LRT no será necesariamente el más poderoso; & (b) El teorema de Wilks solo se aplica a hipótesis anidadas, por lo que, a menos que una familia sea un caso especial de la otra (por ejemplo, exponencial / Weibull, Poisson / binomio negativo), no se conoce la distribución de la razón de probabilidad debajo de la nula, incluso asintóticamente.

1. Tienes toda la razón. La imagen general es: queremos una estadística de prueba que nos dé la máxima potencia en un nivel de significación dado$\alpha$. En otras palabras, una forma de calcular un valor$\phi$ para que los puntos formen parte del espacio de parámetros para el cual $\phi$ excede su $\alpha^\mathrm{th}$ cuantil bajo $H_0$ tener el menor peso posible bajo $H_1$. El lema de Neyman-Pearson demuestra que esa estadística es la razón de probabilidad.

2. El artículo original de Neyman & Pearson también discute hipótesis compuestas. En algunos casos, la respuesta es sencilla: si hay una selección de distribuciones particulares en cada familia cuya razón de probabilidad es conservadora cuando se aplica a toda la familia. Esto es lo que sucede a menudo, por ejemplo, para hipótesis anidadas. Sin embargo, es fácil que esto no suceda; Este artículo de Cox analiza qué hacer más. Creo que un enfoque más moderno aquí sería abordarlo de una manera bayesiana, poniendo prioridades sobre las dos familias.