Número esperado de duplicados (triplicados, etc.) al dibujar con reemplazo

Tengo el siguiente problema:

Tengo 100 elementos únicos (n), y estoy seleccionando 43 (m) de ellos uno a la vez (con reemplazo).

Necesito resolver el número esperado de exclusivos (solo seleccionados una vez, k = 1), dobles (seleccionados exactamente dos veces k = 2), triples (exactamente k = 3), quads, etc.

He podido encontrar muchos resultados sobre la probabilidad de que haya al menos un doble (paradoja del cumpleaños), pero no sobre el número esperado de pares en la población.

probability expected-value birthday-paradox Kaitlyn K
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¿Le sería útil una estimación de Monte Carlo o necesita la respuesta en forma cerrada?

David J. Harris

Preferiría una fórmula de forma cerrada para poder aplicarla fácilmente a diferentes valores de n, m y k.

Kaitlyn K

Respuestas:

$i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Puede obtener el valor numérico en R con el comando n * dbinom (k, m, 1 / n).

Stefan Wager
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¿Se puede usar esa fórmula para ak = 0 o 1?

Kaitlyn K

Sí puede. Con k = 0, puede interpretarlo como "cuántos puntos no aparecerán entre los m seleccionados".

Stefan Wager

Pero estos eventos no son independientes. Por ejemplo, cuando el elemento 1 aparece m veces, no puede aparecer ningún otro elemento. No puedes simplemente sumar las P's.

asterix314