¿Cuál es la hipótesis NULL para la interacción en un ANOVA de dos vías?

Digamos que tenemos dos factores (A y B), cada uno con dos niveles (A1, A2 y B1, B2) y una variable de respuesta (y).

Al realizar un ANOVA de dos vías del tipo:

y~A+B+A*B

Estamos probando tres hipótesis nulas:

1. No hay diferencia en las medias del factor A
2. No hay diferencia en las medias del factor B
3. No hay interacción entre los factores A y B

Cuando está escrito, las dos primeras hipótesis son fáciles de formular (para 1 es $H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$ )

Pero, ¿cómo debe formularse la hipótesis 3?

editar : ¿y cómo se formularía para el caso de más de dos niveles?

Gracias.

Creo que es importante separar claramente la hipótesis y su prueba correspondiente. Para lo siguiente, supongo un diseño equilibrado entre sujetos CRF- (tamaños de celda iguales, notación de Kirk: diseño factorial completamente aleatorio).$pq$

es la observación i en el tratamiento j del factor A y el tratamiento k del factor B con 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p y 1 ≤ k ≤ q . El modelo es Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$Y_{ijk}$$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Diseño: B 1 ... B k ... B q A 1 μ 11 ... μ 1 k ... μ 1 q μ 1. ... ... ... ... ... ... ... A j μ j 1 ... μ j k ... μ j q μ j . ... ... ... ... ... ... ... A p μ p 1 ... μ$\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

es el valor esperado en la celda j k , ϵ i ( j k ) es el error asociado con la medición de la persona i en esa celda. Lanotación ( ) indica que los índices j k son fijos para cualquier persona i porque esa persona se observa en una sola condición. Algunas definiciones para los efectos:$\mu_{jk}$$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ (average expected value for treatment $j$ of factor $A$)

$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ (average expected value for treatment $k$ of factor $B$)

$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ (effect of treatment $j$ of factor $A$, $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$)

$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ (effect of treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$)

$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
(interaction effect for the combination of treatment $j$ of factor $A$ with treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

$\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(conditional main effect for treatment $j$ of factor $A$ within fixed treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(conditional main effect for treatment $k$ of factor $B$ within fixed treatment $j$ of factor $A$, $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (all individual interaction terms are $0$, such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$. This is essentially Dason's answer.)

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$.)

4. $H_{0_{I}}$: In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$-axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

Una interacción nos dice que los niveles de factor A tienen diferentes efectos según el nivel de factor B que esté aplicando. Entonces podemos probar esto a través de un contraste lineal. Sea C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) donde A1B1 representa la media del grupo que recibió A1 y B1 y así sucesivamente. Así que aquí estamos viendo A1B1 - A1B2, que es el efecto que tiene el factor B cuando aplicamos A1. Si no hay interacción, esto debería ser el mismo que el efecto que B está teniendo cuando aplicamos A2: A2B1 - A2B2. Si esos son los mismos, entonces su diferencia debería ser 0, por lo que podríamos usar las pruebas:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$