Varianza de potencias de una variable aleatoria.

¿Es posible derivar una fórmula para la varianza de potencias de una variable aleatoria en términos del valor esperado y la varianza de X? y

var (X^{n}) = ?

$\operatorname{var}(X^n)= \,?$

E (X^{n}) = ?

$E(X^n)=\,?$

variance expected-value damla
fuente

¿Tienes una distribución particular en mente? Para obtener una solución, necesita alguna restricción de este tipo. Si existiera alguna fórmula general, entonces habría notablemente pocas distribuciones: esa fórmula determinaría todos los momentos superiores y, por lo tanto, todas las distribuciones podrían ser parametrizadas por la expectativa y la varianza, lo que claramente no es el caso.

whuber

No tengo restricciones. La versión independiente y más general de este problema se resuelve en este enlace: stats.stackexchange.com/questions/52646/… Entonces, me pregunto si también podemos derivar una ecuación general para este. En otras palabras, estoy tratando de encontrar donde

v a r (X_{1} X_{2} \dots X_{n}) = ?

${\rm var}(X_1X_2 \cdots X_n)= \ ?$

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=⋯=X_n=X$

damla

Sí: su diferencia es la varianza y la varianza, como suma de cuadrados, no puede ser negativa.

whuber

Stéphane Laurent No veo dónde se hace tal afirmación, pero para ser claros, no mantuve tal cosa.

Whuber

@Bastiaan ; para distribuciones normales está disponible aquí .

V a r (X^{n}) = E [X^{2 n}] - E [X^{n}]^{2}

$\mathrm{Var}(X^n) = \mathbb{E}[X^{2n}] - \mathbb{E}[X^n]^2$

E [X^{n}]

$\mathbb{E}[X^n]$

Dougal

Respuestas:

si tiene la función de generación de Momento para la distribución X, puede calcular el valor esperado de usando y evaluándolo en . $X^n$ $\frac{d^n}{dt^n} MGF(x)$ $t=0$

Nick Lim
fuente

¿Puede explicar cómo esto puede ayudar a encontrar ?

Var (X^{n})

$\operatorname{Var}(X^n)$

Silverfish

El comentario de @Silverfish Dougal sobre la pregunta principal, publicado solo tres minutos antes de su comentario anterior, responde su consulta por completo.

Dilip Sarwate