Tamaño de una prueba y nivel de significación

¿Cuál es la diferencia entre los dos y por qué el nivel de significación debe ser siempre mayor o igual que el tamaño de la prueba?

Suponga que tiene una muestra aleatoria de una distribución que involucra un parámetro que asume valores en un espacio de parámetros . el espacio de parámetros como , y desea probar las hipótesis que se denominan nulas e hipótesis alternativas , respectivamente.$X_1,\dots,X_n$$\theta$$\Theta$$\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

Deje que denote el espacio muestral de todos los valores posibles del vector aleatorio . Su objetivo al construir un procedimiento de prueba es dividir este espacio muestral en dos partes: la región crítica , que contiene los valores de para los cuales rechazará la hipótesis nula (y, por lo tanto, acepte la alternativa ) y la región de aceptación , que contiene los valores de para los cuales no rechazará la hipótesis nula (y, por lo tanto, rechazará la alternativa ).$\mathscr{X}$$X=(X_1,\dots,X_n)$$\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$$X$$H_0$$H_1$ $\mathscr{A}$$X$$H_0$$H_1$

Formalmente, un procedimiento de prueba puede describirse como una función medible , con la interpretación obvia en términos de las decisiones tomadas a favor de cada una de las hipótesis. La región crítica es , y la región de aceptación es .$\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$$\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$$\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

Para cada procedimiento de prueba , definimos su función de potencia by En palabras, le da la probabilidad de rechazar cuando el valor del parámetro es .$\varphi$$\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

La decisión de rechazar cuando es incorrecta . Entonces, para un problema dado, es posible que desee considerar solo aquellos procedimientos de prueba para los cuales , para cada , en los que es algún nivel de significación ( ). Tenga en cuenta que el nivel de significación es una propiedad de una clase de procedimientos de prueba. Podemos describir esta clase precisamente como $H_0$$\theta\in\Theta_0$$\varphi$$\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$$\theta\in\Theta_0$$\alpha$$0<\alpha<1$

Para cada procedimiento de prueba individual , la probabilidad máxima de rechazar erróneamente se llama el tamaño del procedimiento de prueba .$\varphi$$\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$$H_0$$\varphi$

De estas definiciones se deduce directamente que, una vez que hayamos establecido un nivel de significancia y, por lo tanto, determinado la clase de los procedimientos de prueba aceptables, cada procedimiento de prueba dentro de esta clase tendrá tamaño , y viceversa. De manera concisa, si y solo si .$\alpha$$\mathscr{T}_{\alpha}$$\varphi$$\alpha_\varphi\leq\alpha$$\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$$\alpha_\varphi\leq\alpha$