Densidad de robots que realizan una caminata aleatoria en un gráfico geométrico aleatorio infinito

Considere un gráfico geométrico aleatorio infinito en el que las ubicaciones de los nodos siguen un proceso de punto de Poisson con densidad y los bordes se colocan entre los nodos que están más cerca que d . Por lo tanto, la longitud de los bordes sigue el siguiente PDF:$\rho$$d$

En el gráfico anterior, considere los nodos dentro del círculo de radio centrado en el origen. Supongamos que, en el tiempo t = 0 , colocamos un pequeño robot dentro de cada uno de los nodos mencionados. Es decir, la densidad de los robots en el avión viene dada por:$r$$t=0$

dondeles la distancia desde el origen. La siguiente figura muestra un ejemplo de la colocación inicial de los robots.

En cada paso de tiempo, los robots van al azar a uno de los vecinos.

Ahora, mi pregunta es: ¿cuál es la función de densidad de los robots en ? ¿Es posible calcular la función de densidad cuando t → ∞ ?$t>0$$t \rightarrow \infty$

Lo siento chicos, de ninguna manera soy matemático. Avíseme si algo no está claro.

Aquí hay un comienzo.

$r = d/2$

$t$$n = 1 + 4t + 2t(t-1)$$t$$A_t$$n \times n$$n$$e_{i,t} \in \{0,1\}^n$$0$$1$$i$$A_t$$i$$t$$e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$$A^t = A \times A \cdots \times A$$A$$t$$\cal L_1$

$t$$r(t+1)$$0$$t$$q$$t$$(x,y)$$t$$f_t(x,y)$$f_t$$r$$X$

$U$$M$$MU + X$

$X$