Covarianza de variables aleatorias transformadas

Uno podría adoptar el enfoque de la expansión de Taylor:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Editar:

Tome , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Utilice la expansión de Taylor multivariante para calcular una aproximación a (de manera similar al ejemplo al final de "Primer momento" en el enlace que hace el caso más simple de , y use expansiones univariadas para calcular aproximaciones a y (como se indica en la primera parte de la misma sección) con una precisión similar. A partir de esas cosas, calcule la covarianza (aproximada). $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

Al expandirse a un grado de aproximación similar al del ejemplo en el enlace, creo que terminas con términos en la media y la varianza de cada variable (no transformada) y su covarianza.

Edición 2:

Pero aquí hay un pequeño truco que puede ahorrar algo de esfuerzo:

Tenga en cuenta que y e . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Dado tenemos

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Editar: El último paso se sigue de la aproximación de Taylor , lo cual es bueno para pequeño (tomando ). $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(esa aproximación es exacta para , normal: ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Deje $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

y dado , luego $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Editar:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

Por lo tanto, . Esto debería ser exacto para bivariado gaussiano. $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Si utilizó la primera aproximación en lugar de la segunda, aquí obtendría una aproximación diferente.

Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

¿Podría dar un poco más de detalles por favor? De todos modos, gracias por la sugerencia

user7064

Editado para detalles.

Glen_b

Gracias @Glend_b. Aceptaré cuándo se agregarán los detalles. Mientras tanto, +1 :-)

user7064

Sin preocupaciones; Estaba ocupado en ese momento, luego lo olvidé por completo. Ahora arreglado

Glen_b -Reinstate Monica

En general, funciona mejor para las variables no gaussianas si las variaciones de y son pequeñas (de manera equivalente, si los coeficientes de variación de e son pequeños).

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

Glen_b -Reinstate Monica

Covarianza de variables aleatorias transformadas

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