Covarianza de variables aleatorias transformadas

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Uno podría adoptar el enfoque de la expansión de Taylor:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Editar:

Tome , .U=log(X)V=log(Y)

Utilice la expansión de Taylor multivariante para calcular una aproximación a (de manera similar al ejemplo al final de "Primer momento" en el enlace que hace el caso más simple de , y use expansiones univariadas para calcular aproximaciones a y (como se indica en la primera parte de la misma sección) con una precisión similar. A partir de esas cosas, calcule la covarianza (aproximada).E(UV)E(X.1/Y))E(U)E(V)

Al expandirse a un grado de aproximación similar al del ejemplo en el enlace, creo que terminas con términos en la media y la varianza de cada variable (no transformada) y su covarianza.

Edición 2:

Pero aquí hay un pequeño truco que puede ahorrar algo de esfuerzo:

Tenga en cuenta que y e .E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)X=exp(U)Y=exp(V)

Dado tenemos

E[f(X)]f(μX)+f(μX)2σX2
E(exp(U))exp(μU)+exp(μU)2σU2exp(μU+12σU2)

Editar: El último paso se sigue de la aproximación de Taylor , lo cual es bueno para pequeño (tomando ).exp(b)1+bbb=12σU2

(esa aproximación es exacta para , normal: )UVE(exp(U))=exp(μU+12σU2)

DejeW=U+V

E(XY)=E(exp(U).exp(V))=E(exp(W))

exp(μW)+exp(μW)2σW2exp(μW+12σW2)

y dado , luegoVar(W)=Var(U)+Var(V)+2Cov(U,V)

(Editar:)

1+Cov(X,Y)E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)
exp(μW+12σW2)exp(μU+12σU2).exp(μV+12σV2)
exp(μU+μV+12(σU2+σV2+2Cov(U,V)))exp(μU+12σU2).exp(μV+12σV2)
exp[Cov(U,V)]

Por lo tanto, . Esto debería ser exacto para bivariado gaussiano.Cov(U,V)log(1+Cov(X,Y)E(X)E(Y))U,V

Si utilizó la primera aproximación en lugar de la segunda, aquí obtendría una aproximación diferente.

Glen_b -Reinstate a Monica
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¿Podría dar un poco más de detalles por favor? De todos modos, gracias por la sugerencia
user7064
Editado para detalles.
Glen_b
Gracias @Glend_b. Aceptaré cuándo se agregarán los detalles. Mientras tanto, +1 :-)
user7064
Sin preocupaciones; Estaba ocupado en ese momento, luego lo olvidé por completo. Ahora arreglado
Glen_b -Reinstate Monica
En general, funciona mejor para las variables no gaussianas si las variaciones de y son pequeñas (de manera equivalente, si los coeficientes de variación de e son pequeños). UVXY
Glen_b -Reinstate Monica
8

Sin suposiciones adicionales sobre e , no es posible deducir la covarianza del registro conociendo la covarianza inicial. Por otro lado, si pudo calcular partir de e , lo que le impide calcular partir de y directamente?XYCov(X,Y)XYCov(log(X),log(Y))log(X)log(Y)

El empeño
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