Tengo dos variables aleatorias e .
Dado que puedo estimar ¿cómo puedo estimar
data-transformation
covariance
random-variable
usuario7064
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Respuestas:
Uno podría adoptar el enfoque de la expansión de Taylor:
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables
Editar:
Tome , .U=log(X) V=log(Y)
Utilice la expansión de Taylor multivariante para calcular una aproximación a (de manera similar al ejemplo al final de "Primer momento" en el enlace que hace el caso más simple de , y use expansiones univariadas para calcular aproximaciones a y (como se indica en la primera parte de la misma sección) con una precisión similar. A partir de esas cosas, calcule la covarianza (aproximada).E(UV) E(X.1/Y)) E(U) E(V)
Al expandirse a un grado de aproximación similar al del ejemplo en el enlace, creo que terminas con términos en la media y la varianza de cada variable (no transformada) y su covarianza.
Edición 2:
Pero aquí hay un pequeño truco que puede ahorrar algo de esfuerzo:
Tenga en cuenta que y e .E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y) X=exp(U) Y=exp(V)
Dado tenemos
Editar: El último paso se sigue de la aproximación de Taylor , lo cual es bueno para pequeño (tomando ).exp(b)≈1+b b b=12σ2U
(esa aproximación es exacta para , normal: )U V E(exp(U))=exp(μU+12σ2U)
DejeW=U+V
y dado , luegoVar(W)=Var(U)+Var(V)+2Cov(U,V)
(Editar:)
Por lo tanto, . Esto debería ser exacto para bivariado gaussiano.Cov(U,V)≈log(1+Cov(X,Y)E(X)E(Y)) U,V
Si utilizó la primera aproximación en lugar de la segunda, aquí obtendría una aproximación diferente.
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Sin suposiciones adicionales sobre e , no es posible deducir la covarianza del registro conociendo la covarianza inicial. Por otro lado, si pudo calcular partir de e , lo que le impide calcular partir de y directamente?X Y Cov(X,Y) X Y Cov(log(X),log(Y)) log(X) log(Y)
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