¿Puede una distribución de probabilidad tener una desviación estándar infinita?

Creo que es una distribución de probabilidad, donde $p[x]$

pags [X] = \frac{1}{π (1 + X^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

ya que es positivo en todas partes y se integra a 1 en $-\infty, \infty$ .

La media es 0 por simetría, aunque la integración de $xp[x]$ en $-\infty, \infty$ no converge. Esto es "sospechoso" ya que se supone que $p[x]$ es una distribución de probabilidad, pero es razonable porque $xp[x]$ es $O(1/x)$ que se sabe que diverge.

El mayor problema está en calcular la desviación estándar. Como $x^2 p[x]$ también diverge, ya que $x^2 p[x]$ es $O(1)$ .

Si esto no es una distribución de probabilidad, ¿por qué no? Si es así, ¿es su desviación estándar infinita?

La función de distribución acumulativa es $\arctan[x]/\pi$ si eso ayuda.

Alguien mencionó que esto podría ser una distribución gamma, pero eso no está claro para mí.

distributions standard-deviation barrycarter
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@ user1566: formateé sus ecuaciones usando LaTex. ¿Verificaría que no introduje ningún error?

csgillespie

Gracias, el problema está resuelto, así que ya no es un problema, pero sí, todo parece estar bien.

barrycarter

La media de un Cauchy no es cero. De hecho, no existe. Por lo tanto, ninguno de sus momentos centrales tampoco.

cardenal

mi respuesta a una pregunta relacionada se puede encontrar aquí. stats.stackexchange.com/questions/232967/…

Haitao Du

Respuestas:

Para responder el título de su pregunta: Sí, una distribución de probabilidad puede tener una desviación estándar infinita (ver más abajo).

Su ejemplo es un caso especial de la distribución de Cauchy cuya media o varianza no existe. Establezca el parámetro de ubicación en 0 y la escala en 1 para que Cauchy llegue a su pdf.

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Hay una diferencia entre la media y la varianza que no existe y que son infinitas.

cardenal

$[-\infty,\infty]$ $f(x)=\frac{2}{x^3}$ $[1,\infty)$

Alex R.
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