Estimador imparcial de exponencial de medida de un conjunto?

Supongamos que tenemos un conjunto (medible y adecuadamente bien comportado) , donde es compacto. Además, supongamos que podemos extraer muestras de la distribución uniforme sobre wrt la medida de Lebesgue y que conocemos la medida . Por ejemplo, tal vez es una caja que contiene .$S\subseteq B\subset\mathbb R^n$$B$$B$$\lambda(\cdot)$$\lambda(B)$$B$$[-c,c]^n$$S$

Para fijo , ¿hay una manera simple e imparcial de estimar al muestrear uniformemente los puntos en y verificar si están dentro o fuera de ?$\alpha\in\mathbb R$$e^{-\alpha \lambda(S)}$$B$$S$

Como ejemplo de algo que no funciona del todo, supongamos que muestreamos puntos . Entonces podemos usar la estimación de Monte Carlo Pero, mientras es un estimador imparcial de , no creo que sea el caso que sea ​​un estimador imparcial de . ¿Hay alguna forma de modificar este algoritmo?$k$$p_1,\ldots,p_k\sim\textrm{Uniform}(B)$

$$\lambda(S)\approx \hat\lambda:= \frac{\#\{p_i\in S\}}{k}\lambda(B).$$ $\hat\lambda$$\lambda(S)$$e^{-\alpha\hat\lambda}$$e^{-\alpha\lambda(S)}$

Suponga que tiene los siguientes recursos disponibles:

1. Tiene acceso a un estimador .$\hat{\lambda}$
2. $\hat{\lambda}$ es imparcial para .$\lambda ( S )$
3. $\hat{\lambda}$ C es casi seguro acotado superiormente por .$C$
4. Conoces la constante , y$C$
5. Puede realizar realizaciones independientes de tantas veces como desee.$\hat{\lambda}$

Ahora, tenga en cuenta que para cualquier , se cumple lo siguiente (por la expansión de Taylor de ):$u > 0$$\exp x$

$$\begin{align} e^{-\alpha \lambda ( S ) } &= e^{-\alpha C} \cdot e^{\alpha \left( C - \lambda ( S ) \right)} \\ &= e^{- \alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{- \alpha C} \cdot e^u \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ e^{-u} \cdot \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \end{align}$$

Ahora, haga lo siguiente:

1. Muestra .$K \sim \text{Poisson} ( u )$
2. Forme como estimadores imparciales de .$\hat{\lambda}_1, \cdots, \hat{\lambda}_K$$\lambda(S)$
3. Devuelve el estimador

$$\hat{\Lambda} = e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \cdot \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\}.$$

$\hat{\Lambda}$ es entonces un estimador no negativo e imparcial de . Esto es porque$\lambda(S)$

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \mathbf{E} \left[ \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\} | K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \mathbf{E} \left[ C - \hat{\lambda}_i \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \left[ C - \lambda ( S ) \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \end{align}$$

y por lo tanto

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} \right] &= \mathbf{E}_K \left[ \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] \right] \\ &= \mathbf{E}_K \left[ e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \mathbf{P} ( K = k ) \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \\ &= e^{-\alpha \lambda ( S ) } \end{align}$$

por el cálculo anterior.

La respuesta es negativa.

Una estadística suficiente para una muestra uniforme es el recuento de puntos que se observan en Este recuento tiene una distribución Binomial . Escriba y$X$$S.$$(n,\lambda(S)/\lambda(B))$$p=\lambda(S)/\lambda(B)$$\alpha^\prime = \alpha\lambda(B).$

Para un tamaño de muestra de deje ser cualquier estimador (no aleatorizado) de La expectativa es$n,$$t_n$$\exp(-\alpha \lambda(S)) = \exp(-(\alpha\lambda(B)) p) = \exp(-\alpha^\prime p).$

$$E[t_n(X)] = \sum_{x=0}^n \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}\, t_n(x),$$

que es igual a un polinomio de grado como máximo en Pero si la exponencial no puede expresarse como un polinomio en (Una prueba: tome derivadas. El resultado para la expectativa será cero pero la derivada de la exponencial, que en sí misma es exponencial en no puede ser cero).$n$$p.$$\alpha^\prime p \ne 0,$$\exp(-\alpha^\prime p)$$p.$$n+1$$p,$

La demostración para estimadores aleatorios es casi la misma: al tomar las expectativas, nuevamente obtenemos un polinomio en$p.$

En consecuencia, no existe un estimador imparcial.