¿Wolfram Mathworld comete un error al describir una distribución de probabilidad discreta con una función de densidad de probabilidad?

Por lo general, una distribución de probabilidad sobre variables discretas se describe utilizando una función de masa de probabilidad (PMF):

Cuando trabajamos con variables aleatorias continuas, describimos distribuciones de probabilidad usando una función de densidad de probabilidad (PDF) en lugar de una función de masa de probabilidad.

- Aprendizaje profundo de Goodfellow, Bengio y Courville

Sin embargo, Wolfram Mathworld está utilizando PDF para describir la distribución de probabilidad sobre variables discretas:

¿Es esto un error? o no importa mucho?

No es un error: en el tratamiento formal de la probabilidad, a través de la teoría de la medida, una función de densidad de probabilidad es un derivado de la medida de probabilidad de interés, tomada con respecto a una "medida dominante" (también llamada "medida de referencia"). Para distribuciones discretas sobre los enteros, la función de masa de probabilidad es una función de densidad con respecto a la medida de conteo . Dado que una función de masa de probabilidad es un tipo particular de función de densidad de probabilidad, a veces encontrará referencias como esta que se refieren a ella como una función de densidad, y no están equivocados al referirse a ella de esta manera.

En el discurso ordinario sobre probabilidad y estadística, a menudo se evita esta terminología y se distingue entre "funciones de masa" (para variables aleatorias discretas) y "funciones de densidad" (para variables aleatorias continuas), para distinguir distribuciones discretas y continuas. En otros contextos, donde se establecen aspectos holísticos de probabilidad, a menudo es mejor ignorar la distinción y referirse a ambos como "funciones de densidad".

Además de la respuesta más teórica en términos de teoría de la medida, también es conveniente no distinguir entre pmfs y pdf en la programación estadística. Por ejemplo, R tiene una gran cantidad de distribuciones incorporadas. Para cada distribución, tiene 4 funciones. Por ejemplo, para la distribución normal (del archivo de ayuda):

dnorm gives the density, pnorm gives the distribution function, qnorm gives the quantile function, and rnorm generates random deviates.

Los usuarios de R se acostumbran rápidamente a los d,p,q,rprefijos. Sería molesto si tuviera que hacer algo como soltar dy usar, mpor ejemplo, para la distribución binomial. En cambio, todo es como un usuario R esperaría:

dbinom gives the density, pbinom gives the distribution function, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.